При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (рис.2.17, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.
А) б)
Рис.2.17.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (рис.2.17, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:
|
|
Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит 18/1,2, т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,
|
|
Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (рис.2.18). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .
Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2.18.
Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:
и
где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .
Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При площадь ; подставляя эти значения, имеем:
и
Отсюда
,
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (рис.2.18), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (рис.2.19) — получается так называемый эквивалентный ступенчатый стержень.
Рис.2.19.
Определение площадей , ... при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка :
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.