Системы счисления, позиционные и непозиционные системы счисления. Формы представления чисел

4 5 6 7 8 9 10

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

В системе счисления различают понятия числа и цифры:

число — это некоторая абстрактная сущность для описания количества (определение из Википедии);

цифры — это знаки, используемые для записи чисел.

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.

Например, число 21 обозначает двадцать один, 12 — двенадцать.

В позиционных системах счисления Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.

Представление чисел с помощью арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 28; 102; 24А16 и т.д.

В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе - двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной - соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan − 1...a0)f, где a0,a1,...,an — цифры, а f — основание системы счисления. Если используется десятичная система, то основание f можно опустить.

Примеры чисел:

110012 — число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0,a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1;

2213 — число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2;

318 — число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3;

2510 — число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2;

F2116 – число в шестнадцатеричной системе счисления, а0 = 1, а1 = 2, а3 = F.

В позиционных системах счисления числа, как правило, представляются в двух формах: в привычной для нас – свернутой и развернутой.

Развернутая форма числа а в р-ичной системе счисления имеет вид:

apn-1+apn-2+ apn-3+…+a0

где а – число;

р – система счисления;

n – количество разрядов числа.