Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц (рис.4.9). Введем вектор , где и - радиус-векторы частиц. Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Будем считать, что силы взаимодействия частиц и зависят только от расстояния между ними, и направлены вдоль прямой, соединяющей частицы:
, (4.13)
где - некоторая функция , - орт вектора (рис.4.10). По третьему закону Ньютона = - . Уравнения движения
частиц
.
Умножим первое уравнение на , второе – на и сложим:
. (4.14)
Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время , а правая часть – работу внутренних сил за то же время:
.
Подставив в это выражение формулу (4.13), получаем
.
Из рис.4.10 видно, что скалярное произведение равно приращению расстояния между частицами. Тогда
.
Выражение есть приращение некоторой функции от :
.
Следовательно, и выражение (4.14) можно представить в виде:
.
или таким образом, величина для замкнутой системы сохраняется. Функция представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами. Работа внутренних сил
|
|
Т.е. не зависит от путей, по которым перемещались частицы, а определяется только начальными и конечными расстояниями между частицами. Таким образом, силы взаимодействия вида (4.13) являются консервативными.