Будем рассматривать стационарный процесс. Пусть внешние условия таковы, что если бы нагрева (или охлаждения) не было, то жидкость покоилась бы, имея исходную температуру , и плотность . При этом распределение давления в жидкости было бы гидростатическим с градиентом
. (1)
Сжимаемостью жидкости в случае свободной конвекции можно пренебрегать, считая, что не зависит от . Но зависимость от температуры как раз определяет свободную конвекцию, примем её линейной
, (2)
где – избыточная температура, – коэффициент температурного объёмного расширения, .
Уравнение движения возьмём в прежнем виде (К4)
. (3)
В этом уравнении слагаемые и много больше остальных, но они близки по величине, их разность мала и имеет тот же порядок, что остальные слагаемые. Это нужно использовать. Введём возмущение давления , то есть
, (4)
и рассмотрим указанную разность с подстановкой (2), (4) и, затем, (1):
.
Подставим это снова в (3), разделив всё уравнение на (с учётом ):
. (5)
Теперь все слагаемые имеют одинаковый порядок и уже описывают механизм движения при свободной конвекции. При этом очень близко к , поэтому их можно далее не различать (опуская индекс 0). Кроме того, в уравнении осталось только (без ), и далее будем опускать у него индекс 1, понимая под возмущение давления.
|
|
Если учитывать, что вектор имеет проекцию только на ось (, , ), можно увидеть, что в проекции на оси уравнения движения имеют прежнюю форму (К5), кроме проекции уравнения на ось
, где отличие только в первом слагаемом правой части.
После перехода к прежним (как перед (К10)) безразмерным переменным , , , (, – температура стенки), получим
, или, по аналогии с (К11)
.
Здесь, по сравнению с (К11), кроме прежних чисел подобия (число Рейнольдса) и (число Эйлера) появилось новое число подобия – число Грасгофа.
Число Gr характеризует влияние сил, связанных с температурными возмущениями плотности (точнее, удельного веса) по сравнению с силами вязкости.
При расчётах число Gr обычно является определяющим, то есть критерием подобия (вместе с Pr). Следует отметить, что в случае свободной конвекции нет заданной скорости , поэтому число Re является не заданным, а искомым, наряду с числами Nu и Eu.
Таким образом, в простых схемах с одним определяющим размером (вертикальная поверхность высотой , длинная горизонтальная труба диаметром ) уравнение подобия для теплоотдачи должно иметь вид
.
В более сложных схемах, вообще говоря, могли бы добавляться параметры , и т.д., характеризующие геометрию области. А в практических уравнениях – поправочные коэффициенты. В реальных уравнениях подобия для обычных сред основным определяющим фактором оказывается произведение – число Релея (Rayleigh), а не два отдельных числа Gr и Pr. Практические уравнения подобия стараются представить в степенной форме, так что типичная форма уравнения подобия для свободной конвекции имеет вид
|
|
,
где , – поправочные коэффициенты (один или несколько). Впрочем, при более точном рассмотрении зависимость от числа Pr учитывается отдельным множителем, так что уравнение подобия имеет структуру
.
Можно ещё добавить, что в типичных схемах, как оказалось, при свободная конвекция не проявляется, и имеет место чистая теплопроводность в покоящейся жидкости.