Задание 5

1. При тем­пе­ра­ту­ре рельс имеет длину м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния, — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 3 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

2. Вы­со­та над землeй под­бро­шен­но­го вверх мяча ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где – вы­со­та в мет­рах, – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та брос­ка. Сколь­ко се­кунд мяч будет на­хо­дить­ся на вы­со­те не менее трeх мет­ров?

3. В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где – время в се­кун­дах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана, – на­чаль­ная вы­со­та стол­ба воды, – от­но­ше­ние пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний крана и бака, а – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с ). Через сколь­ко се­кунд после от­кры­тия крана в баке оста­нет­ся чет­верть пер­во­на­чаль­но­го объeма воды?

4. Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся вра­ща­ю­ща­я­ся ка­туш­ка. Она со­сто­ит из трeх од­но­род­ных со­ос­ных ци­лин­дров: цен­траль­но­го мас­сой кг и ра­ди­у­са см, и двух бо­ко­вых с мас­са­ми кг и с ра­ди­у­са­ми . При этом мо­мент инер­ции ка­туш­ки от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, вы­ра­жа­е­мый в , даeтся фор­му­лой . При каком мак­си­маль­ном зна­че­нии мо­мент инер­ции ка­туш­ки не пре­вы­ша­ет пре­дель­но­го зна­че­ния 625 ? Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

5. Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звeзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му мощ­ность из­лу­че­ния на­гре­то­го тела , из­ме­ря­е­мая в ват­тах, прямо про­пор­ци­о­наль­на пло­ща­ди его по­верх­но­сти и четвeртой сте­пе­ни тем­пе­ра­ту­ры: , где – по­сто­ян­ная, пло­щадь из­ме­ря­ет­ся в квад­рат­ных мет­рах, а тем­пе­ра­ту­ра – в гра­ду­сах Кель­ви­на. Из­вест­но, что не­ко­то­рая звез­да имеет пло­щадь м , а из­лу­ча­е­мая ею мощ­ность не менее Вт. Опре­де­ли­те наи­мень­шую воз­мож­ную тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды. При­ве­ди­те ответ в гра­ду­сах Кель­ви­на.

6. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на схема ван­то­во­го моста. Вер­ти­каль­ные пи­ло­ны свя­за­ны про­ви­са­ю­щей цепью. Тросы, ко­то­рые сви­са­ют с цепи и под­дер­жи­ва­ют по­лот­но моста, на­зы­ва­ют­ся ван­та­ми.

Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат: ось Oy на­пра­вим вер­ти­каль­но вдоль од­но­го из пи­ло­нов, а ось Ox на­пра­вим вдоль по­лот­на моста, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат линия, по ко­то­рой про­ви­са­ет цепь моста, имеет урав­не­ние где x и y из­ме­ря­ют­ся в мет­рах. Най­ди­те длину ванты, рас­по­ло­жен­ной в 30 мет­рах от пи­ло­на. Ответ дайте в мет­рах.

7. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 30 до 50 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на – в пре­де­лах от 150 до 180 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

8. Сила тока в цепи (в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся на­пря­же­ни­ем в цепи и со­про­тив­ле­ни­ем элек­тро­при­бо­ра по за­ко­ну Ома: , где – на­пря­же­ние в воль­тах, – со­про­тив­ле­ние элек­тро­при­бо­ра в омах. В элек­тро­сеть включeн предо­хра­ни­тель, ко­то­рый пла­вит­ся, если сила тока пре­вы­ша­ет 4 А. Опре­де­ли­те, какое ми­ни­маль­ное со­про­тив­ле­ние долж­но быть у элек­тро­при­бо­ра, под­клю­ча­е­мо­го к ро­зет­ке в 220 вольт, чтобы сеть про­дол­жа­ла ра­бо­тать. Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

9. Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где – тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на), – тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше , если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

10. Ло­ка­тор ба­ти­ска­фа, рав­но­мер­но по­гру­жа­ю­ще­го­ся вер­ти­каль­но вниз, ис­пус­ка­ет уль­тра­зву­ко­вые им­пуль­сы ча­сто­той 749 МГц. Ско­рость спус­ка ба­ти­ска­фа, вы­ра­жа­е­мая в м/с, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле , где м/с – ско­рость звука в воде, – ча­сто­та ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов (в МГц), – ча­сто­та отражeнного от дна сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мая приeмни­ком (в МГц). Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную ча­сто­ту от­ра­жен­но­го сиг­на­ла , если ско­рость по­гру­же­ния ба­ти­ска­фа не долж­на пре­вы­шать 2 м/с.

11. При дви­же­нии ра­ке­ты еe ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, со­кра­ща­ет­ся по за­ко­ну , где м – длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты, км/с – ско­рость света, а – ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ми­ни­маль­ная ско­рость ра­ке­ты, чтобы еe на­блю­да­е­мая длина стала не более 4 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

12. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где (Па) – дав­ле­ние в газе, – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a – по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние вдвое раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

13. В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну , где – на­чаль­ная масса изо­то­па, (мин) – про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время, – пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни мг изо­то­па , пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 5 мг?

14. Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром равна , через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния, про­пус­ка­ют го­ря­чую воду тем­пе­ра­ту­рой . Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние (м), вода охла­жда­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры , причeм (м), где – теплоeмкость воды, – ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а – по­сто­ян­ная. До какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы 84 м?

15. Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле (м), где м/с – на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те м/с ). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 20 м?

16. Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной м и со ско­ро­стью те­че­ния м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем , где – ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

17. Рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

где , — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми (от 0 до 1), — оцен­ка ма­га­зи­на экс­пер­та­ми (от 0 до 0,7) и — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на «Альфа», если число по­ку­па­те­лей, оста­вив­ших отзыв о ма­га­зи­не, равно 24, их сред­няя оцен­ка равна 0,86, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,11.

18. Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти , опе­ра­тив­но­сти , объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций , а также ка­че­ства сайта . Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.

Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Каким долж­но быть число , чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?