Передача теплоты через оребрённую поверхность плоской стенки

Задание.

Исследовать эффективность оребрения поверхности плоской стенки в зависимости от высоты ребра h и теплопроводныхсвойств его материала при граничных условиях третьего рода.

Плоская стенка с размерами по высоте 800 мм и ширине 1000 мм оребрена продольными рёбрами прямоугольного сечения. По ширине стенки размещено 50 рёбер. Для оптимального размера ребра выполнить расчёты распределения температуры,определить плотность теплового потока, передаваемого ребром, оценить вклад отвода теплоты к окружающему воздуху оребрённой поверхности стенки по сравнению с неоребрённой. Данные к заданию приведены в таблице.

Таблица 2.1 - Данные к заданию

Высота ребра h, мм	Толщина ребра δ, мм	Температура окружающего воздуха tв	Температура у основания ребра t0	Скорость движения воздуха w, м/с
10,20,30,40,50				2,6,12,20

2.1 Расчёт

Т.к. плоская оребрённая стенка омывается потоком воздуха, то нам необходимо сначала определить теплофизические свойства воздуха. Для нахождения коэффициента теплоотдачи воздуха нам нужно вычислить:

1) критерий Рейнольдса

, (2.1)

где l – высота плиты, т.к. нагретый воздух поднимается снизу вверх вдоль рёбер

2) критерий Нуссельта для вынужденной конвекции

(2.2)

3) критерий Грасгофа для случая естественной конвекции

, (2.3)

где β =1/273 – температурный коэффициент объёмного расширения воздуха

h – высота стенки

4) критерий Нуссельта для случая естественной конвекции

(2.4)

при

Получив значения критерия Нуссельта для различных скоростей и режимов движения воздуха, можно вычислить коэффициент теплоотдачи воздуха по формуле:

(2.5)

где λ – коэффициент теплопроводности воздуха при заданной температуре воздуха

Таблица 2.2 - Значения критериев Рейнольдса, Нуссельта, Грасгоффа и коэффициента теплоотдачи для потока воздуха

Скорость потока пара w, м/с		Nu	Коэффициент теплоотдачи α,
	Gr =7.19	202.478	6.757
	0,1	319,42	10,661
	0,3	769,24	25,674
	0,6	1339,332	44,7
		2015,43	67,265

Зная α, можно вычислить параметр ребра m:

1/м (2.6)

где u – периметр ребра, м;

λ – коэффициент теплопроводности материала ребра, Вт/м*К;

f – площадь сечения ребра, м²;

Таблица 2.3 - Значения параметра ребра m

параметр ребра m, 1/м	Сталь	Медь	Латунь
m, 1/м (при w=0 м/с)	7,69	2,711	5,215
m, 1/м (при w=2 м/с)	9,658	3,405	6,551
m, 1/м (при w=6 м/с)	14,988	5,285	10,165
m, 1/м (при w=12 м/с)	19,777	6,973	13,413
m, 1/м (при w=20 м/с)	24,26	8,554	16,454

Теперь можно найти температурный напор по высоте ребра по формуле:

(2.7)

где θ₀ – температурный напор у основания ребра

Преобразовав полученные значения температурного напора в изменение температуры по высоте ребра, получим значения, представленные в таблице.

Таблица 2.4 - Значение температуры ребра 0,01 м

h, м	t, ºС при w=0м/с	t, ºС при w=2м/с	t, ºС при w=6м/с	t, ºС при w=12м/с	t, ºС при w=20м/с
Сталь
0,0025	129,871	129,797	129,513	129,157	128,74
0,005	129,779	129,652	129,165	128,556	127,843
0,0075	129,724	129,564	128,957	128,196	127,306
0,01	129,705	129,535	128,887	128,076	127,128
Медь
0,0025	129,984	129,975	129,939	129,894	129,84
0,005	129,972	129,957	129,895	129,818	129,726
0,0075	129,966	129,946	129,869	129,773	129,757
0,01	129,963	129,942	129,861	129,757	129,635
Латунь
0,0025	129,941	129,906	129,775	129,609	129,414
0,005	129,898	129,839	129,614	129,33	128,995
0,0075	129,873	129,799	129,518	129,163	128,745
0,01	129,864	129,786	129,486	129,107	128,661

Таблица 2.5 - Значение температуры ребра высотой 0,02 м

h, м	t, ºС при w=0м/с	t, ºС при w=2м/с	t, ºС	t, ºС	t, ºС
при w=6м/с	при w=12м/с	при w=20м/с
Сталь
0,005	129,487	129,195	128,097	126,764	125,259
0,01	129,121	128,621	126,746	124,475	121,923
0,015	128,902	128,277	125,938	123,11	119,94
0,02	128,929	128,163	125,669	122,657	119,282
Медь
0,005	129,936	129,899	129,757	129,578	129,367
0,01	129,889	129,826	129,583	129,276	128,915
0,015	129,862	129,783	129,479	129,096	128,644
0,02	129,853	129,769	129,444	129,035	128,554
Латунь
0,005	129,763	129,627	129,109	128,466	127,722
0,01	129,594	129,361	128,475	127,376	126,106
0,015	129,492	129,201	128,095	126,724	125,14
0,02	129,459	129,148	127,968	126,507	124,819

Таблица 2.6 - Значение температуры ребра высотой 0,03 м

h, м		t,ºС	t, ºС	t, ºС	t, ºС
t, ºС при w=0м/с	при w=2/с	при w=6м/с	при w=12м/с	при w=20м/с
Сталь
0,0075	128,859	128,219	125,883	123,178	120,285
0,015	128,046	126,953	122,979	118,41	113,567
0,0225	127,559	126,196	121,251	115,59	109,624
0,03	127,397	125,944	120,678	114,657	108,324
Медь
0,0075	129,856	129,773	129,455	129,058	128,594
0,015	129,753	129,61	129,067	128,387	127,593
0,0225	129,691	129,513		127,985	126,995
0,03	129,67	129,48	128,756	127,851	126,795
Латунь
0,0075	129,469	129,167	128,033	126,657	125,107
0,015	129,091	128,574	126,636	124,293	121,665
0,0225	128,864	128,218	125,801	122,884	119,62
0,03	128,789	128,099	125,524	122,416	118,942

Таблица 2.7 - Значение температуры ребра высотой 0,04 м

h, м	t, ºС при w=0м/с	t, ºС при w=2м/с	t, ºС	t, ºС	t, ºС
при w=6м/с	при w=12м/с	при w=20м/с
Сталь
0,01	128,004	126,905	123,051	118,844	114,61
0,02	126,581	124,715	118,196	111,173	104,224
0,03	125,732	123,409	115,326	106,688	98,229
0,04	125,449	122,975	114,377	105,213	96,27
Медь
0,01	129,744	129,597	129,038	128, 346	127,545
0,02	129,561	129,309	128,353	127,169	125,804
0,03	129,451	129,137	127,943	126,466	124,764
0,04	129,415	129,079	127,807	126,232	124,419
Латунь
0,01	129,063	128,535	126,591	124,304	121,817
0,02	128,396	127,494	124,18	120,307	116,126
0,03	127,996	126,87	122,744	117,937	112,772
0,04	127,863	126,663	122,267	117,152	11,664

Таблица 2.8 - Значение температуры ребра высотой 0,05 м

h, м	t, ºС при w=0м/с	t, ºС при w=2м/с	t, ºС	t, ºС	t, ºС
при w=6м/с	при w=12м/с	при w=20м/с
Сталь
0,0125	126,934	125,301	119,798	114,169	108,843
0,025	124,763	121,993	112,756	103,509	94,991
0,0375	123,469	120,027	108,628	97,364	87,162
0,05	123,039	119,375	107,268	95,357	84,631
Медь
0,0125	129,601	129,373	128,511	127,455	126,251
0,025	129,31	128,925	127,452	125,65	123,603
0,0375	129,145	128,657	126,819	124,573	122,026
0,05	129,088	128,568	126,608	124,215	121,502
Латунь
0,0125	128,549	127,743	124,838	121,547	118,109
0,025	127,517	126,141	121,209	115,674	109,959
0,0375	126,9	125,184	119,055	112,215	105,204
0,05	126,694	124,866	118,341	111,073	103,64

Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, определяется по выражению:

(2.8)

Таблица 2.9 - Тепловой поток, передаваемый через основание ребра

w, м/с	Q, Вт при h=0,01м	Q, Вт при h=0,02м	Q, Вт при h=0,03м	Q, Вт при h=0,04м	Q, Вт при h=0,05м
Сталь
	10,856	21,589	32,072	42,196	51,867
	17,11	33,905	50,095	65,429	79,713
	41,027	80,277	116,269	148,013	175,062
	71,043	136,87	193,69	239,813	275,421
	106,217	201,051	277,525	334,288	373,881
Медь
	10,877	21,738	32,567	43,349	54,068
	17,157	34,275	51,313	68,234	84,999
	41,295	82,361	122,972	162,915	201,988
	71,849	143,006	212,802	280,623	345,924
	108,033	214,504	317,941	417,037	510,714
Латунь
	10,868	21,678	32,372	42,894	53,192
	17,139	34,132	50,838	67,125	82,876
	41,295	81,548	120,296	156,789	190,539
	71,567	140,632	205,034	263,19	314,206
	107,327	209,093	300,835	379,849	445,269

Максимальный тепловой поток, передаваемый ребром, при абсолютной теплопроводности материала ребра (λ=∞) и при температуре по всей поверхности ребра, равной температуре в его основании, определяется по формуле:

(2.9)

Таблица 2.10 - Максимальный тепловой поток, передаваемый ребром при абсолютной теплопроводности материала ребра

w, м/с	Q, Вт при h=0,01м	Q, Вт при h=0,02м	Q, Вт при h=0,03м	Q, Вт при h=0,04м	Q, Вт при h=0,05м
	10,88	21,76	32,64	43,519	54,399
	17,164	34,327	51,491	68,655	85,819
	41,334	82,669	124,003	165,337	206,672
	71,967	143,934	215,901	287,868	359,835
	108,297	216,593	324,89	433,186	541,482

Тогда отношение действительного теплового потока к максимальному оценивается коэффициентом эффективности продольного ребра прямоугольного сечения:

(2.10)

Таблица 2.11 - Коэффициент эффективности ребра

w, м/с	E при h=0,01м	E при h=0,02м	E при h=0,03м	E при h=0,04м	E при h=0,05м
Медь
	0,9997	0,999	0,9978	0,996	0,994
	0,999	0,998	0,996	0,994	0,99
	0,999	0,996	0,992	0,985	0,977
	0,998	0,993	0,986	0,975	0,961
	0,997	0,99	0,979	0,963	0,943
Сталь
	0,998	0,992	0,983	0,97	0,953
	0,997	0,988	0,973	0,953	0,929
	0,993	0,971	0,938	0,895	0,847
	0,987	0,951	0,897	0,833	0,765
	0,981	0,928	0,854	0,772	0,69
Латунь
	0,9992	0,996	0,992	0,986	0,978
	0,999	0,994	0,987	0,978	0,966
	0,997	0,986	0,97	0,948	0,922
	0,994	0,977	0,949	0,914	0,873
	0,991	0,965		0,877	0,822

Эффективность оребрения стенки можно оценить, вычислив вклад отвода теплоты к окружающему воздуху оребрённой поверхности стенки по сравнению с неоребрённой.

Для этого надо сначала найти тепловой поток ребристой стенки:

(2.11)

После подстановки известных значений можно упростить:

(2.12)

Тепловой поток, отводимый от неоребрённой стенки можно вычислить по формуле:

(2.13)

После упрощения получим:

(2.14)

Тогда коэффициент, учитывающий отношение теплоты, отведённой к окружающему воздуху оребрённой поверхности стенки по сравнению с неоребрённой, вычисляется по формуле:

(2.15)

Таблица 2.12 - Коэффициент эффективности оребрения плоской стенки

w, м/с	K при h=0,01м	K при h=0,02м	K при h=0,03м	K при h=0,04м	K при h=0,05м
Сталь
	1,05	2,01	2,803	3,45	4,03
	1,001	1,913	2,703	3,365	3,916
	0,983	1,795	2,413	2,89	3,294
	0,962	1,679	2,181	2,58	2,956
	0,938	1,573	2,006	2,384	2,771
Медь
	1,108	2,1	3,03	3,995	4,971
	1,013	2,001	2,969	3,909	4,813
	1,01	1,982	2,909	3,774	4,57
	1,007	1,959	2,838	3,625	4,318
	1,004	1,933	2,761	3,473	4,077
Латунь
	1,101	2,03	2,912	3,704	4,454
	1,009	1,966	2,857	3,664	4,382
	0,999	1,903	2,676	3,316	3,845
	0,989	1,832	2,498	3,018	3,448
	0,977	1,76	2,338	2,783	3,171

2.2 Графическая часть

Рисунок 2.1 - Изменение интенсивности теплообмена при увеличении скорости потока воздуха

Увеличение высоты ребра приводит к увеличению перепада температур у основания ребра и на вершине. Это можно объяснить тем, что увеличивая высоту ребра, увеличивается и площадь поверхности теплообмена, то есть большее количество тепла отводится от поверхности ребра набегающим потоком.

Материал ребра также влияет на процесс теплообмена. Так как тепло в ребре распространяется теплопроводностью, то вещество, имеющее больший коэффициент теплопроводности, будет лучше проводить тепло от основания ребра к вершине,и как следствие, перепад температур будет меньше, чем для веществ с большим λ. Наибольшим коэффициентом теплопроводности обладает медь λ=370 Вт/м*К, у латуни λ=100 Вт/м*К, а у стали λ=46 Вт/м*К. Из полученных графиков видно, что перепад температур при высоте ребра 50 мм и скорости потока 20 м/с в меди составляет 20 градусов, у латуни 40, а у стали 50.

Рисунок 2.2 - Распределение температуры в ребре, выполненного из стали, высотой 0,01 м

Рисунок 2.3 - Распределение температуры в ребре, выполненного из меди, высотой 0,01 м

Рисунок 2.4 - Распределение температуры в ребре, выполненного из латуни, высотой 0,01 м

Рисунок 2.5 - Распределение температуры в ребре, выполненного из стали, высотой 0,02 м

Рисунок 2.6 - Распределение температуры в ребре, выполненного из меди, высотой 0,02 м

Рисунок 2.7 - Распределение температуры в ребре, выполненного из латуни, высотой 0,02 м

Рисунок 2.8 - Распределение температуры в ребре, выполненного из стали, высотой 0,03 м

Рисунок 2.9 - Распределение температуры в ребре, выполненного из меди, высотой 0,03 м

Рисунок 2.10 - Распределение температуры в ребре, выполненного из латуни, высотой 0,03 м

Рисунок 2.11 - Распределение температуры в ребре, выполненного из стали, высотой 0,04 м

Рисунок 2.12 - Распределение температуры в ребре, выполненного из меди, высотой 0,04 м

Рисунок 2.13 - Распределение температуры в ребре, выполненного из латуни, высотой 0,04 м

Рисунок 2.14 - Распределение температуры в ребре, выполненного из стали, высотой 0,05 м.

Рисунок 2.15 - Распределение температуры в ребре, выполненного из меди, высотой 0,05 м

Рисунок 2.16 - Распределение температуры в ребре, выполненного из латуни, высотой 0,05 м

Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, зависит от коэффициента теплопроводности материала ребра, то есть чем выше этот коэффициент, тем лучше материал проводит подведённое тепло. Однако при различных режимах течения потока воздуха, на количество подводимого тепла влияет скорость потока и высота ребра. При ламинарном режиме прогретый слой теплопроводностью передаёт тепло другому слою и так происходит нагрев воздушного потока, при турбулентном же режиме, тепло прогретого нижнего слоя вихревыми потоками смешивается с другими слоями и отвод тепла идёт интенсивно. Увеличение высоты ребра лишь улучшает отвод тепла за счёт увеличения общей теплообменной поверхности.

Рисунок 2.17 - Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, выполненного из стали

Рисунок 2.18 - Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, выполненного из меди

Рисунок 2.19 - Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, выполненного из латуни

Увеличение высоты ребра приводит к тому, что влияние скорости потока на максимальный тепловой поток, передаваемый ребром, уменьшается.

Рисунок 2.20 - Максимальный тепловой поток, передаваемый ребром

Эффективность оребрения с увеличением высоты ребра уменьшается, аналогично влияние скорости теплового потока. Однако для материалов с большим коэффициентом теплопроводности эффективность оребрения уменьшается не так значительно. Поэтому для оребрения плоской стенки эффективнее использовать медные рёбра, однако с экономической точки зрения это не выгодно, так как медь дорогая. Наиболее дешёвым из рассматриваемых материалов является сталь, поэтому для отопления аудиторий, кабинетов, комнат чаще применяют стальные рёбра, хотя эффективность значительно ниже, чем для меди и латуни. Для комнатных условий, когда присутствует естественная циркуляция воздушного потока и нам необходимо нагреть комнату, целесообразнее и экономически выгоднее применять стальные рёбра с высотой 50 мм. В этом случае вклад оребрённой стенки по отношению к неоребрённой больше в 5 раз, для меди в 6 раз, а для латуни в 5,5. То есть это выгодно те только с экономической точки зрения, которая является определяющей при проектировании, но и с технической, так как эффективность находится на уровне с более дорогими медью и латунью.

Рисунок 2.21 - Коэффициент эффективности ребра, выполненного из стали

Рисунок 2.22 - Коэффициент эффективности ребра, выполненного из меди

Рисунок 2.23 - Коэффициент эффективности ребра, выполненного из латуни

Рисунок 2.24 - Коэффициент эффективности оребрения стенки стальными рёбрами

Рисунок 2.25 - Коэффициент эффективности оребрения стенки медными рёбрами

Рисунок 2.26 - Коэффициент эффективности оребрения стенки латунными рёбрами

2.3 Выводы

При обтекании плоской стенки потоком воздуха у поверхности стенки образуется гидродинамический пограничный слой. Скорость потока воздуха в этом слое изменяется от 0 до скорости невозмущённого потока. Течение жидкости в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. При ламинарном течении воздух движется «слоями», не смешивающимися между собой, струйками. При турбулентном же режиме возникают завихрения в потоке, что приводит к перемешиванию слоёв жидкости. Таким образом, в гидродинамическом слое у поверхности плиты вначале развивается ламинарный режим, впоследствии переходящий в турбулентный. Этот переход происходит на интервале определённой длины, а не в какой-то точке слоя. Однако даже при развитом турбулентном режиме у самой поверхности плиты образуется тонкий подслой, движение жидкости в котором подчиняется ламинарному режиму.

В гидродинамическом слое, образующемся у поверхности плиты, изменяется не только скорость потока, но и температура от значения на стенке до значения воздуха вдали от поверхности плиты. Надо сказать, что при ламинарном режиме течения температура в пограничном слое по мере отдаления от плиты уменьшается, теплообмен осуществляется за счёт теплопроводности от слоя к слою и к стенке. Турбулентный же режим отличается тем, что при смешении слоёв их температура уравновешивается и теплообмен происходит конвекцией.

Наличие рёбер на плите вносит свои коррективы в процесс теплообмена.

Рассмотрим распределение температуры по высоте ребра.

По мере отдаления от основания ребра к вершине температура начинает снижаться. Тепло в ребре передаётся теплопроводностью. При скоростях 0 и 2 м/с развивается ламинарный режим течения потока воздуха, а при скоростях в 6,12 и 20 м/с ламинарный режим переходит в турбулентный. Этот переход заметен на графиках, так как при турбулентном режиме на теплообмен значительное влияние оказывает скорость потока. В этом режиме слой воздуха, нагреваемый у поверхности стенки и рёбер, перемешивается и сносится холодным набегающим потоком. Интенсивность теплообмена при этом прямопропорциональна скорости потока.