Лекция № 13 (90-минут)

Тема: Выполнение арифметических операций в компьютерных системах над числами с плавающей точкой

Каждой форме представления чисел (с фиксированной или плавающей точкой) свойственны свои преимущества и недостатки. Поэтому в современных компьютерных системах обычно имеется возможность использования любой из них. Компьютерные средства, в которых используется преимущественно представление чисел в форме с фиксированной точкой, представляют собой специализированные компьютерные системы для управления технологическими процессами, обработки статистической информации и результатов измерений, решения задач с большим числом логических операций и т.д. Представление же чисел в форме с плавающей точкой используется в компьютерных системах, которые служат для решения широкого круга задач научного и технического характера. Это обусловлено тем, что использование формы с плавающей точкой позволяет значительно расширить диапазон представимых чисел, по сравнению с фиксированной точкой, обеспечивая при этом высокую точность представления.

. (5.1)

где M — мантисса;

P — порядок.

При представлении чисел в форме с плавающей точкой мантисса может быть любым знаковым числом: целым, правильной дробью, смешанным числом. Однако условие нормализации предполагает представление мантиссы в виде правильной дроби:

. (5.2)

где M — мантисса.

Знак мантиссы определяет знак всего числа.

Порядок определяет фактическое положение запятой вместо положения, которое она занимает в изображении мантиссы, и может быть положительным или отрицательным, но обязательно целым числом. Понятие «ПЗ» можно рассматривать как перемещение запятой в изображении числа влево, если Р<0, или вправо, если P>0. Для обозначения чисел с плавающей точкой используют форму вида:

. (5.3)

где М – мантисса числа;

Е – разделитель мантиссы и порядка;

Р – порядок числа.

Вместо E могут использоваться другие символы, например, D (double — двойная точность), когда для мантиссы отводится большее количество разрядов. Если для записи порядка используется (Р) разрядов, а для записи мантиссы (М) разрядов, то в форме с плавающей точкой может быть представлено следующее максимальное (по абсолютной величине) число:

(5.4)

В свою очередь, минимальное по абсолютной величине, но не равное нулю, число в форме с плавающей точкой может быть представлено в виде:

(5.5)

При получении последней оценки полагаем, что минимальное значение мантиссы равно (2^-1) из-за условия нормализации. Подобные рассуждения применимы и для определения максимального и минимального отрицательных чисел, поскольку они представляются в компьютерных системах. В компьютерных системах, где используется представление чисел в форме с плавающей точкой, арифметические операции выполняются как над мантиссами операндов, так и над их порядками. При этом часто необходимо выполнять операцию нормализации чисел. Поэтому процессоры с плавающей точкой являются более сложными и менее быстродействующими, чем процессоры с фиксированной точкой (естественно, при сравнимом быстродействии электронных компонентов этих процессоров). Вместе с тем, в компьютерных системах с фиксированной точкой возникают определенные трудности из-за необходимости масштабирования данных. Кроме того, здесь значительно уже диапазон представимых чисел. В этом легко убедиться, сравнивания отношения для различных форм представления числовых данных:

(5.6)

Для чисел с плавающей точкой:

(5.7)

Из рассмотренного следует, что диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой зависит от разрядности порядка. Увеличение разрядности порядка на (1) значительно расширяет диапазон (таблица 5.1).

Таблица 5.1- Зависимость диапазона представимых чисел от разрядности порядка

P

Хотя диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой во много раз шире диапазона представления чисел с фиксированной точкой, тем не менее в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда результат вычислений выходит за пределы диапазона.

5.2 Форматы двоичных числовых данных с плавающей точкой

Формат данных с плавающей точкой, использовавшийся в компьютерных системах первых поколений, включал четыре поля, а именно: указанные ранее поля для мантиссы и ее знака (длиной (m+1) разряд), а также два дополнительных поля для порядка и его знака (длиной (p+1) разряд).

Рисунок 5.1 — Классический формат данных с плавающей точкой

В отличие от рассмотренного выше классического формата, в современных компьютерных системах используют смещенный порядок, т.е. порядок, представленный в смещенном коде.

Смещенный порядок (Е_х) представляет собой целое беззнаковое число, равное истинному порядку, увеличенному на некоторое значение смещения.

Такой прием устраняет необходимость использования знака порядка, давая возможность манипулировать порядками как целыми беззнаковыми числами.

. (5.8)

где — некоторая константа (смещение).

Если Р_х > Р_y, то E_x > E_y. Если (D = 2^p-1), то такой смещенный код называют кодом с положительным нулем. Для перехода от смещенного кода к дополнительному достаточно проинвертировать знаковый бит.

Широко применяются смещенные коды с отрицательным нулем, когда

(D = 2^p-1 - 1). При сложении и вычитании смещенных порядков результирующий порядок также должен быть смещенным.

При использовании смещенных кодов с отрицательным нулем сложение порядков выполняется в соответствии с правилом:

, (5.9)

где Е^’_y - смещенный порядок с инвертированным старшим разрядом.

В этом случае может возникать как положительное, так и отрицательное переполнение. Если во втором слагаемом старший разряд (1) был инвертирован в (0), а при сложении возник перенос (CY=1), то имеет место переполнение порядка. Результат оказывается за пределами представления. Признаком получения отрицательного переполнения (антипереполнение) является отсутствие переноса (CY=0) из старшего разряда суммы при условии, что во втором слагаемом старший разряд из (0) был инвертирован в (1).

При вычитании смещенных порядков для получения смещенного порядка разности необходимо выполнить следующее действие:

, (5.10)

где Е^’_y - инверсное значение смещенного порядка с инвертированным старшим разрядом.

5.3 Стандарт IEEE-754

К настоящему времени разработаны многочисленные варианты форматов чисел с плавающей точкой и практической реализации арифметических устройств с плавающей точкой. Это, в свою очередь, создает трудности при написании переносимых программ, согласовании правил обработки числовых данных и т.д.

Поэтому был разработан международный стандарт IEEE-754, нормам которого должны удовлетворять практически все вновь разрабатываемые компьютерные системы. Указанный стандарт решает следующие задачи:

- упорядочивает форматы чисел с плавающей точкой;

- унифицирует реакции на особые случаи в процессе обработки;

- определяет требования к точности вычислений.

В соответствии со стандартом IEEE-754 определены два базовых и два расширенных формата. Во всех форматах используется смещенный код порядка. Мантисса имеет старший разряд (m₀) с весом (2⁰), относящийся к целой части. Поэтому условие нормализации изменяется:

. (5.11)

Базовый одинарный формат - (БОФ) имеет длину в 32 разряда. Поле порядка в этом формате содержит 8 разрядов, а смещение равно 127.

Максимальный положительный порядок числа здесь равен +127, минимальный отрицательный -128.

Базовый двойной формат - (БДФ) имеет одноразрядное знаковое поле, 11-разрядное поле смещенного порядка и 52-разрядное поле мантиссы.

Смещение здесь равно 1023. Особенность двух указанных форматов заключается в том, что минимальный и максимальный смещенные порядки зарезервированы для представления специальных чисел. Поля мантисс в явном виде не содержат разряда (m₀), так как в памяти должны храниться нормализованные мантиссы чисел, а значит, их старший разряд всегда равен (1). При передаче числа из памяти в процессор этот «неявный» разряд становится «явным», и в операциях участвует 24-разрядная (БОФ) или 56-разрядная (БДФ) мантисса.

Расширенный одинарный формат - (РОФ) не имеет жестко фиксированных параметров, однако для конкретных реализаций он устанавливается, исходя из следующих требований:

- наличие одноразрядного знакового поля;

- наличие явного или скрытого разряда в мантиссе;

- длина мантиссы не менее 31 разряда;

- диапазон значений порядка — -1023... +1024.

Расширенный двойной формат - (РДФ) отличается от одинарного тем, что диапазон порядка составляет -16383...+16384, а поле мантиссы - не менее 63 разрядов. В качестве примера практической реализации форматов стандарта IEEE-754 можно рассмотреть представление числовых данных с плавающей точкой в компьютерных системах. Здесь используются данные трех типов (таблица 5.2):

- вещественные числа одинарной точности (single real), соответствующие БОФ;

- вещественные числа двойной точности (double real), соответствующие БДФ;

- вещественные числа расширенной точности (extended real) или временные вещественные числа, соответствующие РДФ.

Временные вещественные числа имеют в своем представлении явный бит (m₀). В памяти компьютера числа хранятся чаще всего в форматах БОФ или БДФ, а их обработка выполняется в РДФ.

Следует отметить, что целые числа в диапазоне (2^-64….2⁺⁶⁴ ) представляются абсолютно точно в РДФ.

Таблица 5.2 - Зависимость диапазона представимых чисел от базовых форматов

Тип	Длина	Точность	Диапазон (дв.)	Диапазон (дес.)
БОФ
БДФ
РДФ

Если в процессе вычислений результат выходит за пределы представимых чисел, то имеет место особый случай:

- нарушение нормализации;

- если результат превышает |X_max|, то такой случай называют переполнением или переполнением порядка, и вычисления при этом останавливают (прерывание);

- если результат меньше |X_min|, имеет место антипереполнение или исчезновение порядка, что обычно воспринимается как нулевой результат (машинный 0);

- в результате выполнения сложения-вычитания мантисса может оказаться равной (0) при ненулевом порядке. Это ситуация потери значимости (псевдонуль). Результат интерпретируется как машинный (0).