Пример проверки статистической гипотезы

Задание. Плановый объем налогопоступлений от предприятий города за день в среднем должен составлять 14 тыс. грн.. Поступления за шесть дней в бюджет составили соответственно: . Полагая, что уровень значимости принят , определить:

1) выполнила ли налоговая администрация план по поступлениям средств в бюджет;

2) перевыполнила ли налоговая администрация план по поступлениям средств в бюджет.

Решение.

Часть I.

¨ Формулирование нулевой и альтернативной гипотез.

H₀:

H₁: .

¨ Выбор уровня значимости.

.

¨ Выбор теста.

t критерий Стьюдента.

¨ Определение критической области.

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁: , то необходимо применять двусторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (5, 0.005)=4.032 [t(n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-4.032 и TR>4.032, то отвергается H₀ и принимается H₁.

¨ Выполнение необходимых вычислений.

Вычисление t расчетного (TR) производиться по следующей формуле: , где .

Таблица 3.1 Вспомогательные расчеты

14.15	0.0167	0.00028
13.85	-0.2833	0.08026
13.95	-0.1833	0.03360
14.20	0.0667	0.00445
14.30	0.1667	0.02779
14.35	0.2167	0.04696
		0.19334

Таким образом имеем:

= =0.1966

= =1.66

¨ Принятие статистического решения.

Так как -4.032<TR<4.032, тогда с =0.01 гипотеза Н₀ о равенстве среднего значения налогопоступлений за день в размере 14 тыс.грн. принимается при =0.01. Следовательно, налоговая администрация выполнила план по поступлениям средств в бюджет.

¨ При ответе на второй вопрос задания нулевая и альтернативная гипотеза будут иметь вид:

H₀:

H₁: .

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁: , то необходимо применять односторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (5, 0.01)=3.365 [t(n-1, )].

, то гипотеза H₀ о равенстве среднего значения налогопоступлений за день в размере 14 тыс.грн. принимается при =0.01. Следовательно, нельзя говорить о перевыполнении налоговой администрацией плана по поступлениям средств в бюджет.

Часть II

Решим это же задание, выполнив расчеты с помощью статистического пакета MINITAB.

Ход выполнения работы:

1. Ввести данные.

1. Открыть диалоговое окно Stat > Basic Statistics > 1-Sample t.

2. Ввод данных согласно условию.

Согласно рисунку 2.1 заполняются окна ввода, где

- Variables - переменные;

- Confidence interval > level - 1- ;

- Test mean - тестируемое среднее;

- Alternative - альтернативная гипотеза;

- Grafs > Dotplot of data - точечный график.

3. Интерпретация полученных результатов.

Результаты вычислений приведены на рисунке 2.2, где

- Varieble - переменная

- Sigma - среднеквадратическое отклонение

- N - число значений переменной в выборке

- Mean – среднее значение,

- StDev – стандартное отклонение.

- SE Mean - средняя стандартизированная ошибка

- T - расчетное значение нормированного нормального распределения

- P - вероятность того, что случайная величина, имеющая t распределение, будет больше (по модулю в случае двустороннего теста), чем табличное значение t критерия. Если величина p меньше уровня значимости , то расчетное значение t

- критерия по модулю будет больше, чем табличное значение. Следовательно, отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Рисунок 2.1 - Ввод данных

Рисунок 2.2 - Результаты проверки статистической гипотезы

Таким образом, в случае машинной обработки для принятия решения используем следующее правило:

Если P < , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости .

Если P > , то альтернативная гипотеза отвергается и принимается нулевая при соответствующем уровне значимости .

Согласно полученным результатам P > ( =0.01 и P=0.16), следовательно, принимается нулевая гипотеза при уровне значимости 0.01 (ошибка первого рода). Следовательно, налоговая администрация выполнила план по поступлениям средств в бюджет.

При ответе на второй вопрос задания используем рисунок 2.3.

Рисунок 2.3 - Результаты расчетов по второй части задания.

Согласно полученным результатам (рисунок 3) P > ( =0.01 и P=0.079), следовательно, принимается нулевая гипотеза при уровне значимости 0.01 (ошибка первого рода). Следовательно, налоговая администрация не перевыполнила план по поступлениям средств в бюджет.