Уточненная модель взаимодействия типа «хищник —жертва»

Модель А. Д. Базыкина (рис.1.6 и 1.8) [1] является обобщением классической модели Лотки-Вольтерра. Она учитывает следующие важные боиологические факторы:

1. Насыщение хищников - в модели Лотки-Вольтерра предполагается, что интенсивность поедания жертв хищниками линейно растет с ростом плотности популяции жертв. Однако это положение не соответствует экспериментальным данным. В действительности с ростом плотности популяции жертв рацион хищников асимптотически стремится к постоянному значению. Это означает, что «аппетит» хищника имеет определенные пределы. Л. Д. Базыкин описывает эту зависимость функцией следующего вида:

2. Конкуренция жертв - из ограниченности жизненных ресурсов вытекает невозможность безграничного размножения популяции жертв. Этот аффект можно учесть логистическим членом вида

что эквивалентно введению в уравнения слагаемого (со знаком минус).

3. Конкуренция хищников - даже при неограниченном питании по популяция хищников не может расти безгранично. Недостаток, например, территории приводит к конкуренции, которую можно учесть с помощью дополнительного слагаемого (со знаком минус).

С учетом этих уточнений модель взаимодействия хищника и жертвы представляется следующей системой уравнений:

где x, y — плотности популяции жертвы и хищника,

- рацион хищника,

- конкуренция жертв,

- конкуренция хищников,

А — скорость размножения популяции жертвы в отсутствии хищника,

В — удельная скорость потребления популяцией хищника популяции жертва,

-С — эффект конкуренции хищников, для скорости изменения плотности популяции хищников.

С помощью замены переменных по методу неопределенных мас­штабов:

исходная система уравнений приводится к следующему безразмер­ному виду:

Естественно, что данная система уравнений существенно отличается от модели Лотки—Вольтерра, так как она учитывает более сложный характер внутривидового и межвидового взаимодействия. В данной системе возможно не только устойчивое равновесие или существование устойчивого предельного цикла, но и другие варианты поведения. Например, один только учет насыщения «хищника» существенно меняет поведение системы (рис. 2.6 и 2.8).

Более подробный анализ данной модели можно провести путем численного эксперимента. Для полного качественного исследования необходимо построить фазовую диаграмму поведения системы для сочетаний параметров.