Задача К1

Таблица К1

Номер усло-вия	y=f2(t)
Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9
	4 – 9cos (πt/6)	t2 - 2	- 4cos(πt/3)
	2-3 cos(πt/3)	8cos (πt/4)	10sin (πt/6)
	4 –6cos2 (πt/6)	4 + 2t2	12sin2 (πt/6)
	12cos (πt/6)	2(t + 1)2	2 - 4sin (πt/6)
	9cos (πt/3)+ 5	2 + 2sin (πt/4)	12cos (πt/3)+ 13
	-10cos (πt/6)	3t2 - 2	3sin (πt/6)
	8cos (πt/6) - 3	(t + 1)3	16sin2 (πt/6) - 14
	–9cos2 (πt/6)	3 – 4cos (πt/4)	6cos (πt/3)
	6cos (πt/3) - 4	2t3	4 - 9sin (πt/6)
	2 - 2cos (πt/6)	2sin (πt/4)	8cos (πt/3)+ 6

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1-9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁(t), y=f₂(t), где x и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t ₁ = 1с

определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x= f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f₂(t), дана в табл. Κ1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах С1, С2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t ₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2α = 1 - 2sin² α = 2cos² α – 1;

sin 2α = 2 sin α ^. cos α.

Пример K1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

х= –2cos (πt/4)+3, y = 2sin (πt/8) - 1

(x, у - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t ₁ = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение: 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

cos 2α = 1 - 2sin²α или cos (πt/4) = 1 - 2sin² (πt/8). (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

cos(πt/4) = , sin(πt/8) = ;

следовательно,

=1-2 .

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. К1):

х = (y+1)² + 1. (2)

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

v_x= = sin(πt/4);

v_y= = cos(πt/8);

рис. К1
и при t =1с:

v_1x=1,11 см/с; v_1y=0,73 см/с; v₁=1,33 см/с. (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

a_x= = cos( t); a_y= =- ;

a=

и при t = 1 с:

a _{1 x} = 0,87 см/с²; a _{1 y} = -0,12 см/с²; a ₁ =0,88 см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

v² = . Получим

и

. (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t ₁ = 1 c = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки a_n = . Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и , получим, что при t₁ = 1с = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения υ_ι и , найдем, что при t₁= 1 с = 3,05 см.

Ответ: = 1,33 см/с, а₁ = 0,88 см/с², = 0,66 см/с2, = 0,58 см/с²,

= 3,05 см.