Задача K4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0-К4.5) или круглая пластина радиусом R = 60 см (рис. К4.6 — К4.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. КЗ (при знаке минус направление ω противоположно показанному на рисунке).

Ось вращения на рис. К4.0 — К4.З и К4.8, К4.9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. К4.4 — К4.7 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

Таблица К4

Номер условия	ω, 1 /с	Рис. 0-5	Рис. 6-9
b, см	s = AM = f(t)	^l
	-2			R
				R
				R
	-4
	-3			R
				R

	-5			R
				R/4
	-5

По пластине вдоль прямой В D (рис. К4.0 — К4.5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. К4.6 — К4.9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = = f (t) (s — в сантиметрах, t — в секундах), задан в табл. К4 отдельно для рис. К4.0 — К4.5 и для рис. К4.6-К4.9, при этом на рис. 6-9 s = AM и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и l. На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s = АМ > 0 (при s > 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

Указания. Задача К4 — на сложное движение точки. При ее решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины — переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить ее абсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

В случаях, относящихся к рис. К4.6 — К4.9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4, а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону φ = f₁ (t) (положительное направление отсчета угла у показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге большого круга ("меридиану") ADB движется точка М по закону s =АМ= f₂ (t); положительное направление отсчета расстояния s от А к D.

Дано: R = 0.5 м, φ = -2t, s=(πR/6 )(7t — 2t²) (φ — в радианах, s - в метрах, t — в секундах)

Определить: и в момент времени t₁ = 1 с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге A D B относительным (АВ — относительная траектория точки), а вращение шара — переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам

, , (1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относ и тельное движение. Это движение происходит по закону

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 с, получим . Тогда ∟ A C M₁ = или ∟ B C M = 30⁰. Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка М₁).

Теперь находим числовые значения , , :

, ,

где — радиус кривизны относительной траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t₁ = 1 с, учитывая, что А = 0,5 м, получим

м/с, м/с, м/с. (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор — в противоположную сторону; вектор направлен к центру С дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга АРВ совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону φ = -2t. Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = — 2, ε = = 0 (шар вращается равномерно). Таким образом,

ω = -2 с^-1, ε =0 (4)

Знак указывает, что направление ω противоположно положительному направлению отсчета угла φ; отметим это на рис. К4, а соответствующей дуговой стрелкой.

Для определения и найдем сначала расстояние h точки М₁ от оси вращения: h = R sin 30⁰ = 0,25 м. Тогда в момент времени t₁ = 1 с, учитывая равенства (4), получим

м/с,

, м/с² (5)

Изображаем на рис. К4, а вектор с учетом направления ω и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60⁰, то численно в момент времени t₁ = 1 с [см. равенства (3) и (4)]

м/с² (6)

Направление найдем, спроектирован вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, т.е. по ходу часовой стрелки, на 90⁰. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рнс. К4, а.

Теперь можно вычислить значения и

4. 0пределение. так как ,а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а), то в момент времени t₁ = 1 с

м/с²

5. 0пределение . По теореме о сложении ускорений, так как = 0,

(7)

Для определения проведем координатные оси М₁x y z (рис. КЗ, а)

и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что вектор лежит на проведенной оси х, а векторы , , расположены в плоскости дуги ADB, т.е. в плоскости М₁ y z (рис. К4, б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t₁ = 1 с:

м/с²,