Задача K1

Точка В движется в плоскости ху (рис. Kl.0 — Kl.9, табл. Kl; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁ (t), у = f₂ (t) где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₁ (t) дана в табл. Kl (для рис. 0 — 2 в столбце 2, для рис. 3— 6 в столбце 3, для рис. 7 — 9 в столбце 4). Как и в задачах Cl, С2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 — по последней.

Таблица К1

Номер условия	Y= f2(t)
Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9

Указания. Задача Kl относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2α = 1 — 2sin² α = 2cos² а — 1; sin 2α = 2 sin α cos α.

Пример Kl. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

x = — 2cos((π ∕4) · t) + 3. y=2sin ((π ∕8)· t) — 1

( х. у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t = 1 с найти скорость и ускорение. точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где одаргумент вдвое больше другого, используем формулу

cos 2α = 1 — 2 sin² α или cos ((π/4) ·t) = 1 — 2sin² ((π/8) ·t) (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

cos ((π/4) * t) = (3 — x)/2, sin ((π/8) * t) = (y+1)/2

следовательно,

(3 — х)/2 = 1 — (2(y+1)²)/4

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис. Kl):

точки (парабола, рис. Kl):

x = (y+1)² + 1 (2)

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

V_x = dx/dt = (π/2)· sin (πt/4);

V_y = dy/dt = (π/4) · cos (πt/8);

V =

При t = 1 c V_1x = 1.11см/с, V_1y = 0.73 см/с, V₁ = 1.33 см/с

3. Аналогично найдем ускорение точки:

a_x = = cos ; a_y = = — sin ;

a =

и при t = 1 c a_1x = 0.87 см/с², a_1y = — 0.12 см/с², a₁ = 0.88 см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V¹ = V²_x + V²_y.Получим

и

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t₁ = 1 с а_1τ = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда

найденные числовые значения а₁ и а_1τ, получим, что при t = 1 с a_1n = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения V₁ и a_1n найдем, что при t₁ = 1 с = 3,05 см.

0 т в е т: V₁= 1,33 см/с, а₁ = 0,88 см/с², а_1τ = 0,66 см/с², а_1n = 0,58 см/с², = 3,05 см.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1—3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 — К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁= 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 — г₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 — r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, В и С.

Таблица К.2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
	s4=4(7t-t2)	,	,aA,a5
	=2(t2-3)	,	, aB,a4
	=2t2-9	,	,aC,a5
	=7t-3t2	,	,aA,a4
	=3t- t2	,	,aB,a5
	=5t-2t2	,	,aC,a4
	=2(t2-3t)	,	,aC,a5
	=3t2-8	,	, aB,a5
	s5=2t2-5t	,	,aC,a4
	=8t-3t2	,	,aA,a4

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t)— закон вращения колеса 1, s₄(t)— закон движения рейки 4, ω₂(t) — закон изменения угловой скорости колеса 2, υ₅(t) — закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражено в радианах, s — в сантиметрах, t — в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и υ₄, υ₅ — вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ — линейные, ω — угловые) и ускорения (а — линейные, ε — угловые) соответствующих точек или тел (υ₅— скорость груза 5 и т.д.).

Указания. Задача К2 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и г₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса г₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁ = f(f).

Д а н о: R₂ = 6 см, г₂ = 4 см, R₃ = 8 см, г₃ = 3 см, s₁ = Зt³ (s — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t₁ = 3 с. Определить: ω₃, υ₄, ε₃, a_Aв момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внеш­них ободах колес (радиуса R_i), через υ_i, а точек, лежащих на внутрен­них ободах (радиуса г_i), — через u_i.

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функ­ции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость: . (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ₂ = υ₁ или ω₂R₂= v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следователь­но, и₂ = υ₃ или ω₂r₂ = ω₃R₃. Из этих равенств находим

. (2)

Тогда для момента времени t₁ = 3 с получим ω₃ = 6,75 с ^-1.

2. Определяем υ₄. Так как υ₄ = υ_B= ω₃r₃, то при t₁ = 3 с υ₄ = 20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая второе из равенств (2), получим ε₃ = = 1,5t. Тогда при t₁ = 3 с ε₃ = 4,5 с ^-2.

4. Определяем a _А. Для точки A , где численно = R₃ε₃, = . Тогда для момента времени t₁ = 3 с имеем

= 36 см/с², = 364,5 см/с²;

= 366,3 см/с².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

О т в е т: ω₃ = 6,75 с ^-1, υ₄ = 20,25 см/с, ε₃ = 4,5 с ^-2, =366,3 см/с².