Решение

Класс

Решения олимпиадных заданий

1. Вычислить

Решение. Обозначим за x = 201120112011. Вычислим знаменатель рассматриваемой дроби:
x² – (x – 1)(x + 1) = x² – (x² – 1) = 1. Значит, величина дроби равна ее числителю, то есть 2011. Ответ: 2011.

2. При каких значениях m уравнения mx – 1010 = 1001 и 1001 x = m – 1010 x имеют общий корень?

Решение.

Корнями данных уравнений являются числа 2001/m и m/2001 соответственно.

Тогда 2001/m =m/2001, m ² = 2011², m = ±2011.

Ответ: при m = ±2011.

3. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

Решение.
В треугольниках ABK и MBC биссектрисы одновременно являются и высотами (см. рис.), поэтому эти треугольники — равнобедренные. Так как АВ > ВС, то точка M лежит на стороне АВ, а точка K — продолжении стороны ВС.
Значит, BC = BM = 8 (см); AB = BK = BC + CK = 9 (см). Ответ: AB = 9 см.

В трех ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором — на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике? Решить логически.