Наращение и дисконтирование

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S=P(1+j/m)^mn,

где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m®¥ имеем

S= lim P(1+j/m)^mn=P lim [(1+j/m)^m]ⁿ. (45)

^{m®¥ m®¥}

Известно, что

lim (1+j/m)^m=lim [(1+j/m)^m/j]^j=e^j,

^{m®¥ m®¥}

где e - основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j равна

S=Pe^jn. (46)

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d. Тогда

S=Pe^dn. (47)

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m ®¥.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se^-dn. (48)

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

(1+i)ⁿ=e^dn. (49)

Из записанного равенства следует, что

d =ln(1+i), (50)

i=e^d-1. (51)

Пример 13.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,

Решение.

Воспользуемся формулой (50)

d =ln(1+i)=ln(1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

Расчет срока ссуды и процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.