Моменттер теориясы

1.3.1 Күштің нүктеге (центрге) қатысты моментінің векторы

Күштің әсерінен қатты дене ілгерілемелі немесе айналмалы қозғалыс жасайды. Күштің айналдырушы әсері моментпен сипатталады.

күшінің О нүктесіне (центріне) қатысты моменті деп осы нүктеге түсірілген векторын айтады. Бұл вектордың модулі (шамасы) күш модулі мен күштің нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең, ал бағыты күш пен нүкте арқылы өтетін күш жазықтығына перпендикуляр, оның ұшынан қарағанда күш денені сағат тіліне қарсы бағытта бұратындай болып көрінеді (1.13 сурет).

Күштің О нүктесіне қатысты моментінің шамасы (модулі):

. (1.3.1)

Күштің нүктеге қатысты иіні (h) деп нүктеден күштің әсер ету сызығына дейінгі ең жақын ара қашықтықты (перпендикулярды) айтады.

Күштің О нүктесіне қатысты моментінің векторын күштің түсу нүктесінің радиус-векторы мен күш векторының векторлық көбейтіндісі ретінде жазуға болады:

. (1.3.2)

Екі вектордың векторлық көбейтіндісін анықтауыш түрінде алып, векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын анықтаймыз:

.

күшінің О нүктесіне қатысты моменті векторының проекциялары мына түрде жазылады:

(1.3.3)

Халықаралық жүйеде күш моменті ньютон көбейтілген метрмен өлшенеді.

1.3.2 Қос күш және оның моментінің векторы

Қос күш деп модульдері тең, бір біріне қарсы бағытталған екі параллель күштің жүйесін айтады. Қос күштің әсерінен дене айналмалы қозғалыс жасайды, демек, қос күштің моменті болады. Қос күш жатқан жазықтық қос күштің әсер ету жазықтығы деп аталады. Қос күшті құрайтын күштердің әсер ету сызықтарының арасындағы ең жақын ара қашықтық (перпендикуляр) қос күштің иіні (d) деп аталады (1.14 сурет).

Енді жазықтығында жатқан қос күшті қарастырайық. Осы екі күштің кез келген О нүктеге қатысты моменттерінің геометриялық қосындысын алайық:

Егер екенін ескерсек мынаны аламыз

.

Алынған өрнек қос күш моментінің векторы деп аталады, ол О нүктесіне тәуелсіз:

. (1.3.4)

Қос күш моментінің модулі оны құрайтын күштердің біреуінің модулі мен қос күш иінінің көбейтіндісіне тең:

.

Қос күш моменті векторының бағытықос күштің әсер ету жазықтығына перпендикуляр, ұшынан қарағанда қос күш денені сағат тіліне қарсы бағытта бұратындай болып көрінеді. Оны кез келген нүктеге түсіруге болады, себебі ол О нүктесіне тәуелсіз, яғни қос күш моментінің векторы – жылжымалы вектор.

1.3.3 Қос күш туралы теоремалар

1-теорема. Бір жазықтықта жатқан екі қос күшті моменті осы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады (дәлелдеусіз).

Салдар. Бір жазықтықта жатқан кез келген қос күштер жүйесін моменті барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады.

2-теорема. Моменттері тең екі қос күш өзара пара-пар болады (дәлелдеусіз).

1-салдар. Дененің күйін өзгертпейқос күшті параллель жазықтыққа көшіруге болады.

2-салдар. Қос күштің моменті мен айналу бағытын сақтай отырып, оның шамасы мен иінін өзгертуге болады. Одан дененің күйі өзгермейді.

3-теорема. Қиылысатын жазықтықтарда жатқанекі қос күшті осы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады (дәлелдеусіз)

1, 2, 3 теоремалардың салдары. Түрлі жазықтықтарда жатқан қос күштердің кез келген санын моменті барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады. Сонымен, денеге әсер ететін қос күштер жүйесі бір қос күшке пара-пар екен. Тең әсерлі қос күштің моменті құраушы қос күштердің моменттерінің геометриялық қосындысына тең:

.

Қос күштер жүйесінің тепе-теңдік шарты. Моменттері қос күштердің әсеріндегі дене тепе-теңдікте болу үшін барлық қос күштердің моменттерінің геометриялық қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Нүктеге (центрге) қатысты күш моментінің векторы.

2. Нүктеге қатысты күш иінінің анықтамасы.

3. Қос күштің, оның иіні мен әсер ету жазықтығының анықтамалары.

4. Қос күш моментінің векторы.

5. Қос күш туралы теоремалар.

6. Қос күштер жүйесінің тепе-теңдік шарты.

1.4 СТАТИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ТЕОРЕМАСЫ

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші күштер параллелограмының заңы бойынша тікелей анықталады. Осындай мәселені кез келген күштер жүйесі үшін де шешуге болады. Ол үшін күштердің бәрін бір нүктеге көшіру әдісін табу керек. Осындай әдісті келесі теорема береді.

1.4.1 Күшті параллель көшіру туралы теорема

Теорема. Дененің бірнүктесіне түскен күшті өзіне параллель етіп басқа нүктеге көшіруге болады. Күштің денеге әсері өзгермеу үшін көшірілген күшке моменті берілген күштің жаңа нүктеге қатысты моментіне тең қос күш қосу керек.

Дәлелдеу. Қатты денеге оныңА нүктесіне түскен күші әсер етсін (1.15 а) сурет). Дененің кез келген В нүктесіне ал болатын және екі теңестірілген күшті түсірейік. Осылайша алынған үш күштің жүйесі В нүктесіне түскен күшіне тең күші мен моменті болатын қос күшті береді (1.15 ә) сурет). Сонымен, теореманың бірінші бөлігі дәлелденді. күшінің В нүктесіне қатысты моментінің векторы былай анықталады:

Анықтама бойынша қос күш моментінің векторын былай жазуға болады:

екенін ескерсек, теореманың екінші бөлігі дәлелденеді, яғни

1.4.2 Статиканың негізгі теоремасы

Денеге күштер жүйесі әсер етсін. Осы күштердің геометриялық қосындысы күштер жүйесінің бас векторы деп аталады:

(1.4.1)

Барлық күштердің О нүктесіне қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы күштер жүйесінің бас моменті деп аталады:

. (1.4.2)

Теорема. Абсолют қатты денеге әсер ететін кез келген күштер жүйесін берілген О центрге келтіргенде жүйенің бас векторына тең және келтіру центріне түскен бір күшпен және моменті бас моментке тең бір қос күшпен алмастыруға болады.

Дәлелдеу. Қатты дененің нүктелеріне түскен кез келген күштер жүйесін қарастырайық (1.16 а сурет). Күштердің бәрін өзіне өзін параллель етіп бір О нүктесіне көшірейік. Сонда күшті параллель көшіру туралы теоремаға сәйкес әрбір көшірілген күшке бір қос күштен қосу керек (1.16 ә) сурет). Олардың моменттері берілген күштердің О нүктесіне қатысты моменттеріне тең болады, яғни

Алынған жинақталатын күштер жүйесін олардың геометриялық қосындысына тең бір күшпен алмастырамыз:

қос күштер жүйесін олардың геометриялық қосындысына тең бір қос күшпен алмастыруға болады:

.

Сонымен, нәтижесінде бір күш пен моменті бір қос күш алдық.

1.4.3 Тепе-теңдік шарттары. Вариньон теоремасы

Теорема. Кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның бас векторының және кез келген центрге қатысты бас моментінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті (дәлелдеусіз):

, . (1.4.3)

Вариньон теоремасы. Егер берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші бар болса, онда тең әсерлі күштің кез келген О центріне қатысты моменті жүйедегі күштердің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Күшті параллель көшіру туралы теорема.

2. Кез келген күштер жүйесін қандай түрге келтіруге болады?

3. Күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары.

4. Күштер жүйесінің тең әсерлі күшінің моменті неге тең?

1.5 ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ КЕЗ КЕЛГЕН КҮШТЕР ЖҮЙЕСІ

Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жатып, кез келген тәртіппен бағытталған күштер жүйесі жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі деп аталады. Осындай бір жазықтықта жатқан күштердің жазықтықтың кез келген Онүктесіне қатысты моменттерінің векторлары осы жазықтыққа перпендикуляр болып, бір түзудің бойымен бағытталады. Сонда бұл моменттердің бағыттарын бір бірінен таңбасы бойынша айырып, күшінің О центріне қатысты моментін алгебралық шама ретінде қарастыруға болады. Бұл шаманы деп белгілейміз.

1.5.1 Күштің центрге қатысты алгебралық моменті

к үшінің О центріне қатысты алгебралық моменті плюс немесе минус таңбасымен алынған күш модулі мен күштің нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең:

(1.5.1)

Механикада қабылданған оң координата- лар жүйесінде күш денені Оцентріне қатыстысағат тіліне қарсы бағытта бұруға тырысса күш моментінің таңбасы оң, сағат тілімен бағыттас бұруға тырысса – теріс болады. Егер күштің әсер ету сызығы центрден өтсе оның моменті нөлге тең болады (1.17 сурет).

Осы суретте бейнеленген күштер үшін:

, ,

1.5.2 Қос күштің алгебралық моменті

Қос күштің моменті оны құрайтын күштердің біреуінен екіншісінің түсу нүктесіне қатысты алынған моментке тең болғандықтан, бір жазықтықта жатқан қос күштер үшін қос күш моментін де алгебралық шама ретінде қарастыруға болады. Бұл шаманы немесе деп белгілейміз.

Қос күштің алгебралық моменті плюс немесе минус таңбасымен алынған оны құрайтын күштердің біреуінің модулі мен қос күш иінінің көбейтіндісіне тең:

. (1.5.2)

Егер қос күш денені сағат тіліне қарсы бағытта бұруға тырысса қос күш моментінің таңбасы оң, ал сағат тілімен бағыттас бұруға тырысса – теріс болады (1.18 сурет).

1.18 суретте бейнеленген () және () қос күштер үшін:

,

Қос күштің моменті оның денеге әсерін толық сипаттайды. Сондықтан, кейде қос күшті оның моментінің айналдыратын бағытын көрсететін доғалық тіл ретінде бейнелейді (1.19 сурет) ().

1.5.3 Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті

Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі үшін де бас вектор барлық күштердің геометриялық қосындысы болады және декарттық координаталар жүйесінің екі өсіне проекцияланады:

. (1.5.3)

Бас вектордың сан шамасы (модулі) мына өрнекпен анықталады:

, (1.5.4)

ал бағыты бағыттаушы косинустардың көмегімен анықталады:

(1.5.5)

Бұл жағдайда да О нүктесіне қатысты бас момент барлық күштердің О нүктесіне қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы болады:

. (1.5.6)

Егер денеге күштермен қатар қос күштер әсер етсе, олардың моменттері жүйенің бас моментіне қосылады.

1.5.4 Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Күштер жүйесінің жалпы тепе-теңдік шарттарынан жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің векторлық тепе-теңдік шарттары алынады:

.

Бұл шарттарды аналитикалық түрде жазуға болады.

1. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының бірінші түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің күштер жазықтығында алынған екі өске (х пен у) проекцияларының қосындысы мен барлық күштердің кез келген О центріне қатысты моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

. (1.5.7)

2. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының екінші түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің күштер жазықтығындағы өске (х) проекцияларының қосындысы мен барлық күштердің осы өске перпендикуляр түзуде жатпайтын екі нүктеге (А және В) қатысты алынған моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

. (1.5.8)

3. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдік шарттарының үшінші түрі: жазықтықтағы кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктеге (А, В және С) қатысты алынған моменттерінің алгебралық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

. (1.5.9)

Егер күштің нүктеге қатысты иінін анықтау қиын болса, онда күшті құраушыларға жіктеп, Вариньон теоремасын қолданған абзал.

1.5.5 Таралған күштер. Қатаң бекітпе. Денелер жүйесінің тепе-теңдігі

Дененің бір нүктесіне түскен күш қадалған күш деп аталады. Бұдан басқа түзу бойына, жазықтық бетіне немесе көлемге түскен күштер де бар. Мұндай күштер таралған күштер немесе жүктемелер деп аталады.

Инженерлік есептеулерде әртүрлі заңдылықпен таралған жүктемелерді жиі кездестіруге болады. Енді бір жазықтықта жатқан таралған күштердің кейбір қарапайым түрлерін қарастырайық.

Жазықтықтағы біркелкі таралған күштер жүйесі жүктелген кесіндінің ұзындық бірлігіне келетін күш шамасымен, яғни таралу қарқындылығымен сипатталады. Қарқындылық ньютон бөлінген метрмен (Н/м) өлшенеді.

1) Түзу сызық бойымен біркелкі таралған күштер (1.20 сурет).

Біркелкі таралған күш (жүктеме) депәсері түзу сызық бойымен біркелкі таралған күшті айтады (1.20 сурет). Мұндай күштер үшін қарқындылықтың мәні тұрақты болады. Статикалық есептеулерде бұл күштер жүйесін тең әсерлі күшпен алмастырады. Оның түсу нүктесі жүктелген кесіндінің ортасы болады, ал модулі:

. (1.5.10)

2) Түзу бойымен сызықтық заңымен таралған күштер (1.21 сурет). Мұндай жүктеменің мысалы ретінде судың плотинаға түсіретін қысымын айтуға болады. Бұл қысым күшінің ең үлкен мәні плотинаның түбіне әсер етіп, су бетінде нөлге дейін төмендейді. Мұндай күштер үшін қарқындылықтың мәні айнымалы болады да, нөлден қарқындылықтың максималдық мәніне дейін өседі. Бұл күштердің тең әсерлісі біртекті үшбұрышты пластинаға әсер ететін ауырлық күштерінің тең әсерлісі сияқты анықталады. Біртекті пластинаның салмағы оның ауданына пропорциона­л болғандықтан, оның модулі

,(1.5.11)

күшінің түсу нүктесі үшбұрыш қабырғасынан қашықтықта жатады.

Бір ұшы қадалған дене (қатаң бекітпе). Кейбір жағдайларда дененің бір ұшы қабырғаға немесе еденге қазықша қадай бекітіледі. Бұл бекітуді қатаң бекітпе (қадалған ұш) деп атаймыз. Жылжымайтын (қозғалмайтын) топсаға қарағанда байланыстың мұндай түрі дене қозғалысына тағы бір кедергі жасайды. Ол – дене айналуының шектелуі. Бұл жағдайда дененің көлденең қимасында оның бекітілген ұшынан таралған күштер жүйесі (реакциялар) пайда болады. Бұл күштерді қиманың А центріне келтірілген деп санап, оларды осы центрге түскен және құраушылары бар бір күшпен және моменті – қатаң бекітпенің реактивті моменті болатын бір қос күшпен алмастыруға болады (1.22 сурет).

Инженерлік ғимараттардың статикалық есептеулері көп жағдайда байланыстармен жалғасқан денелер жүйесінен тұратын құрылмалардың тепе теңдік шарттарын қарастыруға әкеледі. Берілген құрылманың бөліктерін жалғайтын байланыстарды ішкі байланыстар деп атаймыз. Сыртқы байланыстар құрылманы оның құрамына кірмейтін денелермен жалғайды.

Егер сыртқы байланыстарды (тіректерді) алып тастағаннан кейін құрылма қатаңдығын сақтаса, онда статика есептерін шешкенде құрылма абсолют қатты дене болып саналады.

Алайда сыртқы байланыстарды алып тастағаннан кейін қатаңдығын сақтамайтын инженерлік құрылмалар да кездесуі мүмкін. Мұндай құрылманың мысалы ретінде үш топсалы арканы (1.23 а) сурет) келтіруге болады. ЕгерА және В нүктелеріндегі байланыстарды алып тастаса арка қатаңдығын сақтамайды: оның бөліктері С топсасына қатысты айнала алатын болады.

Қатаю принципіне сәйкес, тепе-теңдік кезінде мұндай құрылмаға әсер ететін күштер жүйесі қатты дененің тепе-теңдік шарттарын қанағаттандыруы қажет. Бірақ бұлар тек қана қажетті шарттар, олар жеткілікті шарттар бола алмайды; сондықтан олардан барлық белгісіз шамаларды анықтай алмаймыз. Есепті шешу үшін құрылманың қандай болмасын бір немесе бірнеше бөлігінің тепе-теңдігін қосымша қарастыру керек.

Мысалы, құрылманы бірден екі бөлікке бөліп, әр бөліктің тепе-теңдігін жеке-жеке қарастырады. Бұл жағдайда ішкі байланыстардың реакцияларының модульдері өзара тең болып (), қарама-қарсы бағытталады (1.23 ә) сурет).

Мұндай есептерді шешудің басқа әдісі бойынша алдымен екі денеден тұратын құрылманың тепе-теңдігін қарастырып, төрт белгісізі бар үш теңдеу аламыз. Одан кейін құрылманың бір бөлігінің тепе-теңдігін қарастырып (1.23 ә) сурет), екі белгісізі бар тағы үш теңдеу аламыз. Осылайша алынған алты теңдеуді шешіп, алты белгісізді табамыз.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің анықтамасы.

2. Күштің нүктеге қатысты алгебралық моментінің анықтамасы.

3. Күштің нүктеге қатысты алгебралық моменті қандай жағдайда нөлге тең болады?

4. Қос күштің алгебралық моментінің анықтамасы

5. Жазықтықтағы кез келген күштер жүйесінің бас векторы мен бас моментінің анықтамасы.

6. Жазық күштер жүйесінің аналитикалық тепе-теңдік шарттары, олардың үш түрі.

7. Таралған күш, оны тең әсерлі күшпен алмастыру.

8. Қатаң бекітпенің реакциясы.

1.6 ҮЙКЕЛІС

1.6.1 Сырғанау үйкелісінің заңдары

Бір денені екінші бір дене бетімен қозғалтқан кезде денелердің жанасу жазықтығында олардың салыстырмалы сырғанауына кедергі күш пайда болатыны бізге белгілі. Бұл күшті сырғанау үйкелісінің күші дейді.

Мұндай күштердің пайда болуына себепші қысым мен жанасушы беттердің кедір-бұдырлылығы және үйкелісетін денелердің жанасу беттерінде пайда болатын ілінісу күші. Сондықтан, кедір-бұдырлы беттің реакция күші () екі құраушыдан тұрады: үйкелісетін денелердің жанасу беттеріне ортақ нормаль бойымен бағытталатын () нормаль реакция және жанама өс бойымен дене қозғалысына қарсы бағытталатын () сырғанау үйкелісінің күші (1.24 сурет).

Үйкеліс құбылысының барлық ерекшелігін зерттеу теориялық механика курсынан тыс жататын күрделі физика-математикалық мәселе.

Инженерлік есептеулерде үйкеліс құбылысының негізгі ерекшеліктерін сипаттайтын тәжірибелік жолмен алынған заңдылықтарды қолданады.

Теоретиялық механикада үйкелісетін денелер арасындағы құрғақ үйкеліс қарастырылады.Майланбаған жанасушы беттер арасындағы үйкелісті құрғақ үйкеліс дейді. Құрғақ үйкеліс кезінде тыныштықтағы және қозғалыстағы сырғанау үйкелісітерін ажыратады. Тыныштықтағы сырғанау үйкелісі тек актив күштерге тәуелді болады.

Құрғақ үйкелісті зерттеген және оның негізгі заңдылықтарын тағайындаған француз инженері Кулон болды. Бұл заңдылықтар үйкелісетін беттердің кедір-бұдырлығы үлкен емес және олар бірін бірі майыстырмайтын кезде ғана орын алады. Кулон заңдарын схемасы 1.25 суретте келтірілген қондырғыда тәжірибе жасау арқылы алуға болады. Суретте бейнеленген Р денесі тепе-теңдікте болғанда мына теңдеулер орындалады:

мұндағы – керілу күші, – нормаль реакция, – жүктің ауырлық күші, – сырғанау үйкелісінің күші. Бұл теңдеулерден тепе-теңдік кезінде , ал болады. Т керілу күшінің сан шамасы Q жүгінің ауырлық күшіне тең екенін ескерсек, Q жүгінің ауырлық күші өскен сайын керілу күшінің өсетінін, демек үйкеліс күшінің де өсетінін көреміз. Q жүгінің ауырлық күшін жайлап өсірсек тепе-теңдік бұзылып, Р жүгі қозғалатын жағдайға келеміз. Сонда үйкеліс күші кейде шектік үйкеліс күші деп аталатын өзінің максимал мәніне жетеді. Енді нормаль қысым күшін өзгерткенде күшінің қалай өзгеретінін зерттеуге болады. Осы тәжірибенің көмегімен күшінің жанасушы жазықтықтардың ауданына, олардың материалына және өңделу дәрежесіне де тәуелділігін анықтауға болады.

Осылай алынған тыныштықтағы сырғанау үйкелісінің заңдылықтарын былай тұжырымдауға болады:

1. Бір денені екінші бір дене бетімен қозғауға әрекет жасағанда олардың жанасу бетінде нөлден өзінің максимал мәнінің арасында өзгере алатын үйкеліс күші пайда болады, яғни

. (1.6.1)

2. Үйкеліс күшінің максимал мәні нормаль қысымға тура пропорционал, яғни

, (1.6.2)

мұндағы өлшем бірлігі жоқ f₀ коэффициенті сырғанау үйкелісінің статикалық коэффициенті деп аталады.

3. Сырғанау үйкелісінің статикалық коэффициентіүйкелісетін денелердің затына және жанасушы беттердің өңделуі мен физикалық күйіне (температурасына, ылғалдылығына және т. б.) тәуелді. Оның шамасы арнайы тәжірибелер жасау арқылы анықталады және техникалық анықтамаларда келтіріледі.

4. Үйкеліс күшінің максимал мәні үйкелісетін денелердің жанасушы беттерінің ауданына тәуелсіз.

Осы заңдылықтардан сырғанау үйкелісі әсер ететін дене тепе-теңдікте болу үшін мынадай қосымша тепе-теңдік шартының орындалуы қажет екен:

. (1.6.3)

1.6.2 Үйкеліс бұрышы және үйкеліс конусы

Жоғарыда айтылған үйкеліс заңдарын көрнекі түрде түсіндіру үшін үйкеліс бұрышы мен үйкеліс конусы ұғымдарын енгізген ыңғайлы.

Актив күштер әсеріндегі дене тепе-теңдіктің шектік жағдайында болсын делік. Бұл жағдайда үйкеліс күші өзінің максимал мәніне жетеді, реакция күші де өзінің максимал мәніне өседі. Ол үйкелісетін денелердің жанасу беттеріне ортақ нормальмен максимал бұрыш құрады.

Сонымен, үйкеліс бұрышы деп максимал толық реакция мен жанасушы беттерге түсірілген ортақ нормаль арасындағы ең үлкен j₀ бұрышты айтады (1.26 сурет). 1.26 сурет бойынша:

.

Бірақ , сондықтан үйкеліс бұрышы мен үйкеліс коэффициенті арасындағы мына байланысты аламыз:

. (1.6.4)

максимал толық реакция векторының геометриялық орны төбесі денелердің жанасу нүктесінде жататын конустық бетті береді. Бұл конус үйкеліс конусы деп аталады. Егер сырғанау үйкеліс коэффициенті қозғалыстың барлық бағытында бірдей болса, бұл конус дөңгелек конус болады (1.26 сурет). Егер үйкеліс коэффициенті мүмкін қозғалыс бағытына тәуелді болса, үйкеліс конусы дөңгелек болмайды.

Енді үйкеліс конусын пайдаланып кедір-бұдырлы жазықтықта жатқан дененің тепе-теңдік шартын алайық. Денеге әсер ететін барлық актив күштерді нормальмен бұрыш құратын күшпен алмастырамыз (1.27 сурет). Тепе-теңдік шарттарын құрамыз:

Осы теңдеулерден мынаны аламыз:

.

Тепе-теңдік кезінде (1.6.3) шарты орындалатынын ескерсек немесе , демек тепе-теңдік кезінде болатынын аламыз. Бұл шарт әсер етуші күшінің сан шамасына тәуелді емес. Олай болса, кедір-бұдырлы жазықтықта жатқан дене тепе-теңдікте болу үшін денеге әсер ететін актив күштердің тең әсерлі күшінің әсер ету сызығы үйкеліс конусының ішімен немесе оның құраушысымен бағытталуы қажет және жеткілікті. Бұлай болмаған жағдайда, яғни күшінің әсер ету сызығы үйкеліс конусының сыртымен өтсе, дене тепе-теңдікте болмайды. Нормальмен бұрыш құратын ешқандай күшпен денені жазықтық бойымен қозғалтуға болмайды. Денелердің қысылып қалуын немесе өзінен өзі тоқтап қалуын осымен түсіндіруге болады.

1.6.3 Домалау үйкелісі

Домалау үйкелісі деп бір дененің екінші бір дене бетімен домалаған кезде пайда болатын кедергіні айтады.

Кедір-бұдырлы горизонталь жазықтықта жатқан радиусы R, салмағы Р дөңгелек цилиндрді қарастырайық. Егер дөңгелектің өсіне күшінен кіші күшін түсірсек (1.28 а) сурет), цилиндр мен жазықтықтың А жанасу нүктесінде цилиндрдің жазықтық бетімен сырғанауына кедергі жасайтын үйкеліс күші пайда болады. 1.28 а) суреттен нормаль реакция , ал және күштерінің домалау тудыратын қос күш құрайтынын көреміз. Осы жағдайда, егер барлық күштердің А нүктесіне қатысты моменттерінің қосындысын құрсақ (бұл қосынды -ге тең), шамасы өте аз кез келген күшінің әсерінен дене домалай бастау керек.

а) ә)

1.28 сурет

Шындығында бұлай болмайды, себебі денелердің деформациялануына байланысты олар бір АВ кесіндісі бойымен жанасады (1.28 ә) сурет). күшінің әсерінен реакция күші А нүктесінен күшінің әсер ету бағытына қарай h қашықтыққа ығысады. Сонымен, цилиндрдің домалауына кедергі жасайтын () қос күш пайда болады. Егер күштердің А нүктесіне қатысты моменттерінің қосындысын құрсақ мынаны аламыз:

,

тепе-теңдік жағдайда . Домалауға кедергі жасайтын қос күш моментіне тең шамасын домалау үйкелісінің моменті деп атайды:

. (1.6.5)

күші өскен сайын h ығысу қашықтығы арта түседі де, ол өзінің белгілі бір шектік d мәніне жеткенде тепе-теңдік бұзылады, ал цилиндр домалай бастайды. Бұл жағдайда үйкеліс моменті өзінің максималь мәніне жетеді. Ол (1.6.5) өрнегіне сәйкес былай анықталады:

. (1.6.6)

d пропорционалдық коэффициентін тыныштықтағы домалау үйкелісінің коэффициенті деп атайды. (1.6.6) өрнегінен оның өлшем бірлігі ұзындықтың өлшем бірлігіндей екенін көреміз.

Сонымен, цилиндр тепе-теңдікте болғанда қосымша тепе-теңдік шартының орындалуы қажет:

немесе . (1.6.7)

d домалау үйкелісі коэффициентінің шамасы денелердің затына, беттердің физикалық күйіне тәуелді және тәжірибе жасау арқылы анықталады. Бірінші жуықтауда оны цилиндрдің бұрыштық жылдамдығына және сырғанау жылдамдығына тәуелсіз деп есептеуге болады.

қатынасы көптеген заттар үшін сырғанау үйкелісінің статикалық коэффициентінен әлдеқайда кіші, сондықтан техникада мүмкіндігінше сырғанауды домалаумен алмастыруға тырысады.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Сырғанау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

2. Сырғанау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.

3. Сырғанау үйкелісінің заңдары.

4. Үйкеліс коэффициенті.

5. Үйкеліс бұрышы және үйкеліс конусы.

6. Домалау үйкелісі қандай жағдайда пайда болады?

7. Домалау үйкелісі кезіндегі тепе-теңдік шарттары.

1.7 КЕҢІСТІКТЕГІ КҮШТЕР ЖҮЙЕСІ

Әсер ету сызықтары кеңістікте әртүрлі тәртіппен орналасқан күштер жүйесі кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі деп аталады. Бұл күштердің әсерінен дене кеңістікте орналасқан өстерге қатысты айналмалы қозғалыс жасауы мүмкін. Осыған байланысты мұндай күштер жүйесі үшін күштің өске қатысты моменті деген ұғым ендіру қажет.

1.7.1 Күштің өске қатысты моменті

Күштің О нүктесіне қатысты моментінің векторының осы нүкте арқылы өтетін кез келген өске проекциясы күштің осы өске қатысты моменті деп аталады. (1.3.3) өрнектеріне орай күштің О нүктесіне қатысты моментінің векторының x, y, z өстеріне проекцияларын күшінің x, y, z координата өстеріне қатысты моментінің аналитикалық өрнектері ретінде жазуға болады:

(1.7.1)

Анықтама бойынша күштің өске қатысты моменті осы өстегі О нүктесінің орнына тәуелсіз.

Күштің өске қатысты моментін санау үшін оның басқа анықтамасын қолдануға болады: күштің өске қатысты моменті деп осы күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясынан өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты алынған алгебралық моментті айтады (1.29 сурет).

Осы анықтамаға сәйкес күштің өске қатысты моментін анықтау үшін күшті өске перпендикуляр жазықтыққа проекциялап, оң немесе теріс таңбамен алынған проекция модулін оның өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты иініне көбейту керек

(1.7.2)

мұндағы - күшінің Оz өсіне перпендикуляр ху жазықтығына проекциясының модулі, h – күшінің Оz өсінің ху жазықтығымен қиылысу нүктесіне қатысты иіні.

Егер күші өстің оң ұшынан қарағанда денені сағат тіліне қарсы бағыт- та бұруға тырысса күштің өске қатысты моментінің таңбасы оң, сағат тіліне бағыттас бұруға тырысса – теріс болады.

Күштің өске қатысты моменті күш денені осы өске қатысты бұруға тырысқандағы күшінің айналдырушы әсерін сипаттайды.

Күштің өске қатысты моменті екі жағдайда нөлге тең:

1) егер күш векторы өске параллель болса, себебі оның өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясы нөлге тең (, 1.29 сурет);

2) егер күштің әсер ету сызығы өспен қиылысса, бұл жағдайда күштің өске перпендикуляр жазықтыққа проекциясының өстің жазықтықпен қиылысу нүктесіне қатысты иіні нөлге тең ( 1.29 сурет).

Осы екі жағдайды біріктіріп, егер күш пен өс бір жазықтықта жатса күштің өске қатысты моменті нөлге тең болады деген қорытынды жасаймыз.

1.7.2Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің

бас векторы және бас моменті

Бас вектор мен бас моменттің а нықтамасы бойынша бас вектор барлық күштердің геометриялық қосындысы, ал бас момент барлық күштердің О нүктесіне қатысты моменттерінің геометриялық қосындысы. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі үшін бұл екі вектор декарттық координата жүйесінің үш өсіне проекцияланады:

(1.7.3)

(1.7.4)

Ал олардың сан шамалары мен бағыттаушы косинустары мына өрнектермен анықталады:

, .

1.7.3Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары. Параллель күштер

Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің тепе-теңдігінің қажет және жеткілікті шарттары векторлық түрде мына теңдіктермен өрнектеледі:

.

Бірақ пен векторлары тек және болғанда ғана нөлге тең. Сондықтан күштердің мынандай аналитикалық тепе-теңдік шарттарын аламыз:

(1.7.5)

Сонымен, кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің координата өстерінің үшеуіне проекцияларының қосындысы мен олардың осы өстерге қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

(1.7.5) теңдеулер сонымен қатар кеңістіктегі кез келген күштер жүйесі әсер ететін қатты дененің тепе-теңдік шарттары болады. Олардың бірінші үш теңдеуі дененің өстер бойымен жылжымайтындығының, cоңғы үш теңдеуі өстерді айнала алмайтындығын сипаттайды.

Денеге күштермен бірге моменті қос күш әсер етсе, оның моменті соңғы үш теңдеуге қосылады.

Егер денеге әсер ететін күштердің бәрі өзара параллель болса, онда бір өсті, мысалы өсін күштерге параллель етіп алуға болады (1.30 сурет). Сонда күштердің әрқайсысының х пен у өстеріне проекциялары және олардың z өсіне қатысты моменттері нөлге тең болады.

Олай болса параллель күштердің тепе-теңдік шарттары қалған үш теңдеумен беріледі (басқа теңдеулер түріндегі теңбе-теңдікке айналғандықтан):

(1.7.6)

Демек, кеңістіктегі параллель күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін барлық күштердің осы күштерге параллель өске проекцияларының қосындысы мен олардың қалған екі өске қатысты моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Есеп шығарғанда тең әсерлі күштің моменті туралы Вариньон теоремасы күштің өске қатысты моментін анықтауды жеңілдетеді. Себебі, моменті анықталатын күшті құраушыларға жіктесек, онда осы құраушылардан кез келген өске қатысты момент алу қиын болмайды.

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Күштің өске қатысты моментін есептеу.

2. Күштің өске қатысты моментінің аналитикалық өрнектері.

3. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті.

4. Кеңістіктегі кез келген күштер жүйесініңтепе-теңдік шарттары.

5. Кеңістіктегі параллель күштер жүйесініңтепе-теңдік шарттары.

1.8 АУЫРЛЫҚ ЦЕНТРІ

1.8.1 Параллель күштер центрі

() параллель күштер жүйесін қарастырайық (1.31 сурет). Олардың тең әсерлі күші:

. (1.8.1)

Енді осы күштерді олардың түсу нүктесі төңірегінде бір бағытта және бірдей бұрышқа бұрайық. Алынған күштер жүйесі модульдері мен түсу нүктелері өзгермеген параллель күштер жүйесі болады. Осындай күштер жүйесінің әрқайсысының тең әсерлі кү