Краткие теоретические сведения

Одним из наиболее часто используемых вычислительных методов является метод итераций и различные его модификации.

Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению x* бесконечной рекуррентной последовательности x ₀, x ₁, …, x_k ® x * при k ® ¥.

Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу:

x_k = j(x_{k -1}, x_{k -2}, …, x_{k - m}). (7.1)

Такой метод называется m - шаговым. Для его реализации требуется задать m первых членов { x ₀, x ₁, …, x_{m -1}}, называемых начальнымприближением. Зная начальное приближение, по формуле (7.1) последовательно находят x_m, x_{m +1}, …, x_k, …. Процесс получения следующего k -го члена через предыдущие называется k -й итерацией. Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член x_k не будет удовлетворять заданной точности, т.е. пока не выполнится условие | x_k - x_{k -1} | < e, где e – некоторая заданная малая величина. В качестве искомого решения берут последний член последовательности x_k, при котором выполнилось указанное неравенство.

Чтобы использовать итерационный метод, исходную задачу преобразуют к виду, разрешенному относительно х:

x = j(x). (7.2)

При этом точное решение исходной задачи х * является и решением (7.2).

Используем выражение (7.2) в качестве рекуррентной формулы (m = 1):

x_k = j(x_{k -1}).

Далее, задав одно х ₀(начальное приближение), последовательно находим x ₁, x ₂, …, x_k. Если полученная таким образом последовательность сходится к некоторому конечному пределу, то этот предел совпадает с точным решением х *.

Математической моделью многих физических процессов является функциональная зависимость y = f (x). Поэтому задачи исследования различных свойств функции f (x) часто возникают в инженерных расчетах. Одной из таких задач является нахождение корней этого уравнения на заданном отрезке [ a, b ], т.е. таких значений х, при которых f (x) = 0.

На рис. 7.1 представлены три наиболее часто встречающиеся ситуации:

а) кратный корень:

б) простой корень:

в) вырожденный корень: не существует, .

Рис. 7.1

Значения корней x ₁^* и x ₃^* (назовем их особенными) совпадают с точкой экстремума функции, и для их нахождения можно использовать либо методы поиска минимума функции, либо алгоритм поиска интервала, на котором находится «особенный» корень.

Обычно для нахождения корней уравнения применяются численные методы, и этот поиск осуществляется в два этапа.

1. Приближенное определение местоположения – этап отделения корней (нахождение грубых корней).

2. Вычисление выбранного корня с заданной точностью e.

Первая задача чаще всего решается графическим методом: на заданном отрезке [ a, b ] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h, строится ее график, и определяются интервалы (a _i, b _i) – в дальнейшем [ a, b ] длиной h, на которых находятся корни.