2015-10-22
12350
Министерство образования и науки Украины
Донбасская государственная машиностроительная академия
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению расчетно-графических и контрольных работ
по дисциплинам «Теория механизмов и машин» и
«Прикладная механика»
для студентов всех специальностей
дневного и заочного обучения
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
МЕТОДОМ ПЛАНОВ
|
Краматорск 200 
7
УДК 621.01
Методические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по дисциплинам «Теория механизмов и машин» и «Прикладная механика» для студентов всех специальностей дневного и заочного обучения. Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов / Сост.: В.А. Загудаев, В.Е. Шоленинов. – Краматорск: ДГМА, 2007. – 68 с.
В методических указаниях изложена методика исследования кинематических параметров рычажных механизмов методом планов, рассмотрены особенности определения скоростей и ускорений в различных механизмах II класса, приведены примеры кинематического анализа механизмов.
|
|
|
Составители: Загудаев В.А., доц., к.т.н.
Шоленинов В.Е., асс.
Отв. за выпуск Карнаух С.Г.
 |
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………….4
1 Построение планов механизма и определение траекторий
точек методом засечек............................................................... 4
2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма методом планов.................................................................................. 12
3 Особенности построения планов скоростей для кулисных
механизмов................................................................................. 23
4 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма методом планов.............................................................................. 28
5 Особенности построения планов ускорений для кулисных
механизмов................................................................................. 36
6 Пример кинематического анализа рычажного механизма....... 42
6.1 Исходные данные................................................................. 42
6.2 Планы механизма................................................................. 42
6.3 Планы скоростей.................................................................. 43
6.4 Планы ускорений.................................................................. 48
Приложение А. Планы скоростей элементарных механизмов
II класса...................................................................................... 52
Приложение Б. Планы ускорений элементарных механизмов
II класса....................................................................................... 59
Список рекомендованной литературы......................................... 64
ВВЕДЕНИЕ
Для расчета и проектирования разного рода машин, в основу которых положены шарнирные механизмы, необходимо знать траектории, описываемые их характерными точками, а также величины и направления скоростей и ускорений, возникающих у этих точек в различных положениях механизмов. Кинематическое исследование механизмов можно проводить аналитическими и графическими методами. Рассмотрим наиболее простой и наглядный графический метод определения траекторий, скоростей и ускорений точек и звеньев, широко применяемых в машинах шарнирных механизмов II класса.
|
|
|
ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ МЕХАНИЗМА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧЕК МЕТОДОМ ЗАСЕЧЕК
Вид траекторий точек механизма часто определяет его практическое применение. Графическое определение траекторий производится методом засечек. Он позволяет определить положения всех точек механизма, соответствующие принятым положениям ведущего звена (чаще всего кривошипа) и, таким образом, произвести разметку траекторий точек механизма.
При изучении движения звеньев механизма вместо его конструктивного изображения обычно составляется кинематическая схема механизма, которая является его кинематической моделью и строится в выбранном масштабе с точным соблюдением всех тех размеров и форм, от которых зависит взаимное движение звеньев. Все лишнее, не характерное для движения звеньев, должно быть исключено из кинематической схемы механизма, чтобы не усложнять чертежа. Таким образом, для определения положений звеньев и траекторий точек механизма необходимо построить его кинематическую схему, которая при графическом исследовании должна быть выполнена в строго определенном масштабе.
В теории механизмов и машин пользуются понятием вычислительного масштаба, или так называемого масштабного коэффициента, имеющего определенную размерность. Масштабным коэффициентом некоторой физической величины называется отношение действительного значения данной величины в свойственных ей единицах к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину на чертеже. Масштабные коэффициенты позволяют переходить от отрезков на чертеже к действительным значениям изображаемых ими физических величин (перемещений, скоростей, ускорений, сил и т.д.) и наоборот. Чтобы получить действительное значение искомой величины и ее размерность, необходимо взятый из чертежа отрезок в миллиметрах, изображающий эту величину, умножить на соответствующий масштабный коэффициент, и, наоборот, чтобы найти длину отрезка, которым необходимо показать данную физическую величину на чертеже, надо действительное численное значение этой величины разделить на соответствующий масштабный коэффициент.
Например, при построении кинематических схем механизмов в ТММ применяется не масштаб М, а масштабный коэффициент длины ml, который показывает число метров натуры, содержащееся в 1 мм схемы. Следовательно,
,
где lAB - действительная длина некоторого звена АВ механизма, м;
(АВ) - изображение этого звена на схеме, мм.
Переход от масштабного коэффициента длины ml к чертежному масштабу М и наоборот осуществляется по следующим формулам:
; 
, 
.
Так, если обычный чертежный масштаб равен М 1:2, то 
, и надо читать: 0,002 м в 1 мм чертежа; если М 1:5, то 
, и т.д. Например, отрезок (АВ)=100 мм в масштабе длины дает действительный размер lAB=100×0,005=0,5 м.
При выполнении построений кинематических схем механизмов желательно выбирать такой ml, который соответствовал бы одному из стандартных чертежных масштабов М (табл. 1).
Таблица 1 – Стандартные чертежные масштабы
| М | 5:1 | 2:1 | 1:1 | 1:2 | 1:2,5 | 1:4 | 1:5 | 1:10 |
| ml,
| 2×10-4 | 5×10-4 | 1×10-3 | 2×10-3 | 2,5×10-3 | 4×10-3 | 5×10-3 | 1×10-2 |
Для решения задачи о положениях звеньев механизма должны быть заданы кинематическая схема механизма и функция перемещений ведущего звена механизма. Схема механизма и размеры всех его звеньев определяются в результате кинематического синтеза механизма, исходя из требований того технологического процесса, для выполнения которого предполагается использовать этот механизм. При кинематическом исследовании механизмов в первом приближении будем предполагать движение его ведущего звена равномерным.
|
|
|
Определение траекторий и их разметку проведем методом засечек на примере шестизвенного механизма, показанного на рис.1. Зная размеры всех звеньев механизма (
, 
, 
, 
, 
), а также конструктивные размеры a и b, изображаем механизм в положении (выделено на рисунке жирными линиями), соответствующем заданному положению входного звена 1, в выбранном масштабе ml. Для этого все размеры механизма необходимо перевести в масштаб делением на ml: 
, мм; 
, мм; 
, мм и т.д.
Взаимное расположение звеньев движущегося механизма все время меняется, но в каждый данный момент времени положение каждого из них является вполне определенным. Графическое изображение кинематической схемы механизма, соответствующее заданному положению его входного звена, называется планом механизма. Ряд последовательных планов механизма, построенных для моментов времени, следующих друг за другом, позволяет наглядно проследить за движением данного механизма.
Рисунок 1 – Планы положений рычажного механизма
 |
Для построения планов механизма, изображенного на рис. 1, зададимся разметкой траектории точки А кривошипа 1, вращающегося вокруг оси О1 с постоянной угловой скоростью 
. Траекторией этой точки является окружность радиуса О1А с центром в точке О1. Обычно отмечают 8…30 положений точки А. Разметку необходимо выполнять так, чтобы в неё попали крайние положения механизма (когда звенья О1А и АВ находятся на одной прямой, а выходное звено 5 может двигаться только в одном направлении). При этом 
и 
(см. рис.1). За начало отсчета следует принимать одно из крайних положений механизма, определив предварительно углы поворота кривошипа для рабочего 
и холостого 
ходов, причем 
. Отсчет положений необходимо вести в направлении вращения кривошипа.
|
|
|
Будем полагать, что в механизме, изображенном на рис.1, основные исследования проводятся для ползуна 5. Тогда для рассматриваемого механизма можно принять равномерную разметку (разбивку) траектории точки А. За нулевое (начальное) положение А0 принимаем положение кривошипа в конце холостого, начале рабочего хода (когда звенья механизма занимают крайнее правое положение). На рабочем ходу выходное звено 5 преодолевает силу полезного сопротивления 
(движение ползуна справа налево). Положение А0 определяется следующим образом.
Очевидно, что при движении механизма звено 3 будет совершать вращательное движение вокруг оси О2 (точнее, качаться с некоторым углом размаха 
), поэтому траекториями точек В и С коромысла 3 будут дуги окружностей с радиусами, соответственно, О2В и О2С. Из центра О2 опишем эти дуги. Затем из центра О1 раствором циркуля, равным (АВ-О1А), сделаем засечку на дуге радиуса О2В. Полученная точка В0 определяет крайнее правое положение коромысла О2С. Проведя из точки В0 через точку О1 прямую до пересечения с траекторией точки А, получим точку А0. Она и определяет начальное положение механизма, которое иногда называют ”мертвым” положением, т.к. при переходе кривошипа через это положение происходит мгновенная остановка и смена направлений движения всех остальных звеньев механизма, в том числе и ползуна 5. Нетрудно понять, что для определения другого “мертвого” (конечного) положения механизма необходимо из центра О1 сделать засечку раствором циркуля, равным (АВ+О1А), на той же дуге радиуса О2В. Полученная точка Вк определяет крайнее левое положение коромысла О2С. Соединив Вк с О1 прямой линией, найдем Ак как точку пересечения этой линии с траекторией точки А.
Разметим 8 равностоящих положений точки А от А0 в сторону вращения кривошипа 1. Затем, делая на дуге радиуса О2В засечки из всех точек Аi (i=1, 2, 3, …, 8) раствором циркуля, равным АВ, разметим траекторию точки В. Проводя через каждую точку Вi лучи О2Вi до пересечения с дугой радиуса О2С, разметим траекторию точки С, причем каждый из этих лучей показывает соответствующее положение коромысла 3. И, наконец, засечками из всех точек Сi раствором циркуля, равным СD, разметим прямолинейную траекторию точки D ползуна 5, движущегося в прямолинейных горизонтальных направляющих. Значения перемещений Si точки D (ход ползуна) в метрах, отсчитываемые от нулевого положения точки D0, заносим в табл. 2, где Si=(D0Di)ml, (например, S3=(D0D3)ml и т.д.). Если последовательно соединить прямыми линиями все размеченные точки Аi, Вi, Сi, Di, имеющие одинаковые индексы, то можно получить 8 планов механизма, соответствующих 8 равноотстоящим (через 45°) положениям кривошипа О1А, которые нумеруют А1, А2, А3, …, А8 в направлении его вращения. Аналогичным путем можно построить план механизма для любого заданного положения входного звена. Кроме того, имея разметку характерных точек механизма, можно построить траекторию любой точки данного механизма.
Траектории различных точек шатунов, т.е. звеньев со сложным движением (на рис. 1 это звенья 2 и 4), называются шатунными кривыми. Они имеют самую разнообразную форму, и вследствие этого часто используются в специальных машинах, например в картофелекопалках, сеноворошилках, тестомесилках и т.п. В качестве примера на рис. 1 построена шатунная кривая 
, которая представляет собой траекторию движения центра масс S4 шатуна 4. Для её построения необходимо по имеющейся разметке точек С и D (рис. 1) показать все положения звена СD и на каждом из них отметить точки 
. Геометрическое место этих точек и дает искомую шатунную кривую точки S4.
По имеющейся разметке траектории можно достроить диаграмму перемещений S(j) для любой точки механизма в координатах: перемещение S – угол поворота кривошипа j (отсчитываемый от его нулевого положения). График S(j) дает функцию изменения положений рассматриваемой точки (или звена) от положения входного звена, выраженную графически. Поэтому зависимость S(j) часто называют функцией положения.
Построим диаграмму S(j) перемещения ползуна 5 рассматриваемого механизма. Для этого выбираем прямоугольную систему координат 
(рис. 2) и задаемся удобными величинами отрезков (0-8) и 
в миллиметрах, которые в масштабе изображают, соответственно, угол, равный 2p и отвечающий одному обороту кривошипа 1, и полный ход H ползуна 5, причем 
, м.
|
|
|
|
|
Рисунок 2 – Диаграммы движения ползуна 5
Тогда масштабные коэффициенты углов поворота кривошипа и перемещения ползуна будут, соответственно, равны:
, 
; 
, .
Отрезок (0-8) разбиваем на 8 (по числу положений кривошипа) равных частей: (0-1), (1-2), (2-3) и т.д., соответствующих равным углам поворота кривошипа (в данном случае 45°). Найденные ранее значения перемещений Si ползуна для каждого из положений кривошипа переводим в масштаб mS: 
мм, и откладываем полученные отрезки 
из соответствующих точек оси абсцисс 1, 2, 3, …, 8 в виде ординат (S1), (S2), (S3), …, (S8). Соединяя концы этих отрезков плавной кривой, получаем искомую диаграмму S(j). При равенстве масштабных коэффициентов 
построение диаграммы упрощается. О построении диаграмм скорости и ускорения ползуна 5, показанных на рис. 2, будет сказано ниже.
В случае построения диаграммы перемещений для точки, имеющей криволинейную траекторию, например для точки S4, задаются прямоугольной системой координат x-y с началом в нулевом положении точки, проектируют на эти координаты перемещения точки, отсчитывая их от нулевого положения, и по полученным проекциям перемещений строят два графика Sx(j) и Sy(j) описанным выше способом.
При равномерном вращении кривошипа по оси абсцисс (рис. 2) одновременно можно отсчитывать и время t, т.е. график S(j) является также и функцией S(t), но в другом масштабе 
, который легко определяется на основании того, что при равномерном вращении кривошипа время 
. Относя постоянную 
в масштаб, получаем: 
, 
.
Выше был рассмотрен механизм, для которого можно задаваться равномерной разметкой траектории ведущей точки А, поскольку у этого механизма величины рабочего jрх и холостого jхх углов поворота кривошипа отличаются незначительно. Однако существуют механизмы, для которых приходится применять разный шаг разметки траектории ведущей точки на участках рабочего и холостого ходов. На рис.5, a показана кинематическая схема механизма поперечно-строгального станка, для которого желательно брать разный шаг разметки траектории точки А кривошипа 1 на участках рабочего jрх и холостого jхх углов поворота кривошипа вследствие большой разницы величин этих углов. Из рисунка видно, что для нахождения угла jрх, на который должен повернуться кривошип 1, чтобы звено 5 переместилось на величину рабочего хода H, и угла jхх, соответствующего обратному ходу звена 5, необходимо из точки О2 провести касательные к окружности радиуса О1А. Эти касательные отображают крайние положения кулисы 3, качающейся вокруг оси О2 с углом размаха y. В этих положениях кривошип располагается перпендикулярно кулисе.
В данном случае каждый из углов jрх и jхх делится на одинаковое (или разное) число равных частей, соответствующих шагу разметки, разной для jрх и jхх. Полученные положения ведущей точки кривошипа размечаются по направлению вращения кривошипа. По принятой разметке ведущей точки определяются и размечаются траектории остальных точек механизма описанным выше методом засечек.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА МЕТОДОМ ПЛАНОВ
Знание скоростей различных точек и угловых скоростей звеньев механизмов необходимо для решения ряда вопросов кинематики и динамики этих механизмов, в частности, для определения приведенных сил и масс, расчета работы и мощности машин и т.д.
Достаточно часто для определения скоростей точек механизмов используется метод планов скоростей, который основан на решении векторных уравнений графическим путем. Этот метод находит довольно широкое применение в инженерной практике ввиду его простоты и наглядности, а также потому, что при соответствующем выборе масштаба может быть обеспечена достаточная точность.
Планом скоростей (или ускорений) механизма называется масштабное построение, в котором векторы абсолютных скоростей (или ускорений) точек механизма выходят из одной точки, называемой полюсом плана, а отрезки, соединяющие концы этих векторов, изображают относительные скорости (или ускорения) точек. Полюс плана скоростей принято обозначать буквой р, а полюс плана ускорений – p. Из этих определений следует, что нулевые векторы на планах изображаются точкой – полюсом плана.
При построении планов скоростей (или ускорений) приходится выполнять графическое решение векторных уравнений, в процессе которого применяется геометрическое сложение векторов. Концы векторов скоростей 
, 
, 
, … или ускорений 
, 
, 
, … точек А, В, С, … механизма принято на планах скоростей и ускорений обозначать одноименными малыми буквами a, b, c, …. Поэтому на планах векторы абсолютных скоростей точек изображаются отрезками 
, 
, 
, …; векторы ускорений – 
, 
, 
, …, а векторы относительных скоростей 
, 
, … или относительных ускорений 
, 
, … изображаются отрезками 
, 
, …. Это позволяет не проставлять на планах исходные обозначения векторов, чтобы не загромождать чертеж.
Рассмотрим метод построения планов скоростей на примере кинематического анализа шестизвенного механизма, изображенного на рис.3 в масштабе ml, для которого известны истинные длины li всех звеньев и угловая скорость входного звена 1 ‑ w1.
Найдем скорости характерных точек механизма для заданного его положения, определяемого углом 
(обобщенная координата механизма), который отсчитывается от нулевого положения в сторону вращения кривошипа 1. Для определенности задачи в механизмах с одной степенью подвижности достаточно знать угловую скорость начального звена 1. Будем считать, что w1=const для всех положений механизма. Вообще говоря, вид функции изменения угловой скорости ведущего звена w1(t) зависит от сил, действующих на механизм. Но при кинематическом исследовании силы не вводятся в рассмотрение, и закон w1(t) остается неизвестным. Это вынуждает задаваться видом функции w1(t). Обычно принимают простейший закон равномерного вращения ведущего звена w1=const.
|
Рисунок 3 – План кривошипно-коромыслового механизма
 | |||
 |
|
|
|
|
а - план скоростей; б - план ускорений
Рисунок 4 – Планы скоростей и ускорений кривошипно-коромыслового механизма
Действительные же величины и закон изменения углов поворота кривошипа j1(t), а следовательно, угловой скорости w1(t) и углового ускорения e1(t) определяются в динамике машин и зависят от распределения масс и сил, приложенных к звеньям данной машины. И если при динамическом исследовании оказывается, что изменение скорости w1(t) значительно отличается от принятого в кинематике w1=const, то необходимо повторить кинематическое исследование, вводя действительные значения w1 для каждого положения механизма.
Расчет скоростей точек механизма начинают с определения скорости той точки входного звена, которая является центром вращательной кинематической пары (шарнира), связывающей входное звено со следующим подвижным звеном механизма. В рассматриваемом примере – это точка А, общая для звеньев 1 и 2. Так как кривошип 1 вращается вокруг оси О1, то скорость точки А определяется по формуле, 
,
. (1)
Если задана частота вращения кривошипа n в оборотах за минуту, тогда 
, 
. Направлен вектор 
в сторону вращения кривошипа. Выберем масштаб плана скоростей.
В зависимости от имеющегося на чертеже места задаемся длиной отрезка, изображающего вектор : (pa)=50…80 мм. Тогда масштабный коэффициент плана скоростей, 
,
. (2)
Сначала величину отрезка (pa) выбираем произвольно, но такой, чтобы 
получился в виде “круглого” числа, удобного для расчетов. Например, если по формуле (2) получился 
= 0,0432 , то принимаем окончательно =0,04 , а затем обязательно уточняем длину отрезка (pa) при принятом округленном значении , мм:
.
Этот отрезок (pa) и будет изображать скорость точки А при выбранном масштабном коэффициенте =0,04 , его и откладываем из произвольно выбранного полюса p так, чтобы вектор был направлен перпендикулярно О1А в данном положении кривошипа в сторону его вращения (см. рис. 3). Скорости всех остальных точек механизма находятся из двух условий, учитывающих, что все шарниры, связывающие некоторые два звена, одновременно принадлежат обоим этим звеньям. Возможность составления соответствующих векторных уравнений и определяет последовательность рассмотрения механизма.
При выполнении кинематического анализа используются теоремы классической механики о скоростях и ускорениях точек плоской фигуры и теоремы о сложении скоростей и ускорений точки, находящейся в сложном движении. Широко используются также теоремы подобия для планов скоростей и ускорений, о которых будет сказано ниже.
Скорость точки В определяется из следующих условий.
1 Рассмотрим точку В, принадлежащую звену 2 (точка В является общей для звеньев 2 и 3), которое совершает плоское движение. Из кинематики твердого тела известно, что плоское движение тела может быть представлено как состоящее из переносного поступательного движения тела вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом) и относительного вращения вокруг полюса. Поэтому скорость любой точки звена, совершающего плоское движение, может быть выражена геометрической суммой скорости полюса и скорости ее движения вокруг этого полюса. В данном случае, выбрав за полюс точку А, скорость которой уже известна, можем записать векторное уравнение
, (3)
где - вектор относительной скорости точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А, и поэтому вектор ^ BA. Модуль пока неизвестен.
В уравнении (3) и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный только по направлению, подчеркнут одной линией. Ниже подчеркивающих линий обычно указываются направления соответствующих векторов, т.к. это удобно для выполнения построений.
2 Теперь рассмотрим точку В, принадлежащую звену 3. Это звено совершает вращательное движение вокруг оси О2, и поэтому вектор абсолютной скорости любой его точки направлен перпендикулярно радиусу вращения О2В, следовательно, ^ O2B.
В соответствии с определением плана скоростей уравнение (3) можно записать и в отрезках плана в следующем виде:
. (4)
Решаем графически векторное уравнение (3) либо (4). Для этого через точку a плана скоростей проводим прямую линию, перпендикулярную звену АВ плана механизма, а из полюса p – линию 
. Пересечение этих прямых дает точку b, удовлетворяющую уравнениям (3) и (4). Векторы и направляют в соответствии с правилами сложения векторов (они в принятом масштабе изображают искомые скорости и ). Из плана скоростей определяют модули абсолютных и относительных скоростей точек, :
VB=(pb)mV; VBA=(ab)mV.
Векторы скоростей остальных точек механизма находятся аналогично. Построение их будем излагать более кратко.
Скорость точки F, принадлежащей звену 2, определяется из следующих условий:
1 Приняв за полюс точку А звена 2, можно записать:
. (5)
2 Если принять за полюс точку В звена 2, то справедливо уравнение
. (6)
В результате совместного графического решения векторных уравнений (5) и (6) определим скорость 
. Для этого через точку a проводим прямую 
, а через точку b – прямую 
и в пересечении этих прямых получаем точку f, являющуюся решением уравнений (5) и (6). Вектор абсолютной скорости точки F изображается вектором 
, а ее модуль VF=(pf)mV. Векторы относительных скоростей 
и 
изображены векторами 
и 
соответственно. Из выполненного построения следует, что Dabf плана скоростей подобен DABF плана механизма, т.к. стороны этих треугольников взаимно перпендикулярны.
Скорость точки С коромысла 3 определяется из пропорции, составленной на основании положения механики, согласно которому скорость любой точки вращающегося тела пропорциональна расстоянию от этой точки до оси вращения. Следовательно,
(7)
откуда, ,
или в отрезках
, .
Направлен вектор ^ O2С в ту же сторону, что и вектор , т.е. // . Поэтому на плане скоростей откладываем вычисленный вектор в направлении , т.е. на его продолжении.
Скорость точки D, общей для звеньев 4 и 5, найдем из следующих условий:
1 Рассмотрим точку D, принадлежащую звену 4, которое совершает плоское движение. Выбрав за полюс точку С, можем записать:
. (8)
2 С другой стороны, точка D принадлежит ползуну 5, поступательно движущемуся в горизонтальных направлениях, и совершает вместе с ним прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль линии х–х (см. рис. 3). Следовательно, абсолютная скорость точки D 
// x-x. Для графического решения уравнения (8) проводим через точку С прямую линию ^ CD, а из полюса р – прямую //x–x. Пересечение этих линий дает точку d, а вектор 
в масштабе изображает скорость .
Таким образом, построен план скоростей для заданного положения механизма. Он дает направления векторов абсолютных и относительных скоростей, а для определения действительных величин этих скоростей необходимо длины соответствующих отрезков плана в миллиметрах умножить на масштабный коэффициент mV, например: VD=(pd)mV; VC=(pc)mV; VDC=(cd)mV и т.д. При построении плана надо иметь в виду, что полюс р отображает все неподвижные точки механизма.
Следствия. Из проведенных построений можно вывести следующие общие для всех механизмов свойства планов скоростей:
1 О направлениях векторов относительных скоростей.
Направления векторов относительных скоростей точек на планах скоростей обратны порядку следования индексов в их обозначениях. Например, относительная скорость (точки В вокруг А) направлена от а к b (см. рис.4, а) и, наоборот, относительная скорость 
(точки А вокруг В) направлена от b к а. Аналогично 
направлена от с к d, а 
– от d к c и т.д. Вследствие этой двойственности векторов относительных скоростей иногда на планах скоростей их направления стрелкой не указывают. На рис.4, а направления векторов относительных скоростей соответствуют записанным векторным уравнениям.
2 О величинах и направлениях угловых скоростей звеньев.
Имея план скоростей, можно найти угловую скорость любого звена, совершающего вращательное или плоское движение. Например, величина угловой скорости вращающегося звена 3, ,
. (9)
Направление w3 находится мысленным переносом вектора (или ) из плана скоростей в соответствующую точку B (или С) плана механизма и определением возможного поворота звена 3 вокруг точки О2 при данном направлении скорости (или ). Аналогично определяются угловые скорости w2 и w4 звеньев, совершающих плоское движение, но при этом всегда используют только относительные скорости точек:
; 
. (10)
Направления w2 и w4 также находятся мысленным переносом векторов относительных скоростей и из плана скоростей в соответствующие точки В и D плана механизма и определением направлений относительного поворота звеньев 2 и 4 вокруг выбранных полюсов А и С при данных направлениях и (см. рис. 3 и 4). Следует помнить, что w5=0, т.к. ползун совершает поступательное движение.
3 Теорема подобия плана скоростей.
Фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими некоторые точки одного и того же звена на плане механизма, и фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими концы векторов абсолютных скоростей этих точек на плане скоростей, подобны, повернуты одна относительно другой на 90° и сходственно расположены. Это правило называют теоремой подобия плана скоростей. Термин "сходственно расположенные" означает, что одна фигура получается из другой простым поворотом в плоскости без переворачивания в пространстве, т.е. порядок следования букв на схеме механизма и на плане скоростей при обходе по контуру фигуры, например, по часовой стрелке, должен сохраняться. Так, выше было показано, что имеющий место на плане механизма DABF подобен Dabf, полученному на плане скоростей.
Пользуясь правилом подобия, можно найти скорости любых точек механизма, например, центров масс Si звеньев 
. Так, если шатун 2 – однородное тело, то его центр масс S2 расположен в точке пересечения медиан DABF, и для определения скорости 
нужно провести медианы в Dabf, пересечение которых определит конец вектора 
, соответствующего вектору . Скорость точки S4 можно определить из пропорции
, откуда 
. (11)
Для определения 
и 
используют соотношения, аналогичные выражению (11). Тогда 
; 
; 
; 
; 
. Кроме этого, следует обратить внимание на то, что определив скорости точек А и В, скорость точки F можно было бы определить по теореме подобия, построив на стороне ab плана скоростей Dabf, подобный DABF по известным углам у вершин A и B.
Для полного исследования скоростей точек механизма строят планы скоростей для каждого из размеченных положений механизма. Результаты построений, измерений и вычислений сводят в таблицу по форме табл. 2.
Имея данные табл. 2, можно построить графики зависимости скорости какой-либо точки механизма от угла поворота j ведущего звена или от времени t, например точки D ползуна 5. Такая диаграмма V(j) для ползуна 5 показана на рис. 2. Ее построение аналогично построению диаграммы S(j), а ее масштаб mV может отличаться от масштаба плана скоростей либо быть равным ему (тогда построение упрощается). Для удобства сравнения диаграмма скоростей точки D V(j) совмещена с диаграммой перемещения S(j) и диаграммой ускорений этой точки a(j).
Таблица 2 - Данные к построению планов скоростей
| Номер положения | Величина | ||||||||||||||||||||||||
| SD | VA | (pb) | VB | (ab) | VBA | (pc) | VC | (cd) | VDC | (pd) | VD | 
| (ps2) | 
| (ps3) | 
| (ps4) | 
| 
| w1 | w2 | w3 | w4 | w5 | |
| м |
| мм | 
| мм |
| мм |
| мм |
| мм |
|
| мм |
| мм |
| мм |
|
| 
| |||||
| 0 | const | const | const | 0 | |||||||||||||||||||||
| 1 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 2 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 3 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 4 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 5 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 6 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 7 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
| 8 | 0 |
|
При построении всех этих диаграмм за положительное направление векторов 
, 
и 
принимают направление положительных приращений, считая их от начального (нулевого) положения рассматриваемой точки. Так, для точки D ползуна 5 рассматриваемого кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 1) за нулевое положение принято крайнее правое ее положение D0. Следовательно, положительные приращения функции S(j) будут направлены справа налево. Поэтому за положительные ординаты графиков S(j), V(j) и a(j) следует брать векторы 
, 
и 
, направленные справа налево. Векторы же , и на планах механизма, на планах скоростей и на планах ускорений, направленные в противоположную сторону, должны откладываться в сторону отрицательных ординат на соответствующих диаграммах.
При построении графиков S(j), V(j) и a(j) следует пользоваться известным методом определения экстремальных значений функций, с помощью которого можно показать, что там, где график функции S(t) имеет максимум, график ее производной V(t) проходит через нуль, а экстремальным значениям графика V(t) соответствуют точки перегиба графика S(t) и т.д. (см. рис. 2). Имея для точки D механизма графики S(j), V(j) и a(j), можно по ним найти значения 
, 
и 
(при известных mS, mV и ma) для любого заданного положения механизма, определяемого углом j поворота кривошипа 1.
3 ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ
ДЛЯ КУЛИСНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Кулисными называют механизмы, имеющие ползуны (кулисные камни) на подвижных направляющих (кулисах) с вращательным или плоским движением. Построение планов скоростей и, особенно, планов ускорений для таких механизмов имеет некоторые особенности.
|
|
|
а - с группой Ассура 4-го вида; б - с группой Ассура 5-го вида
Рисунок 5 – Планы кулисного механизма
У таких механизмов следует различать две совпадающие на стержне, но принадлежащих разным звеньям точки А: А12 и А3, а также две точки В: В3 и В45, которые необходимо рассматривать раздельно. Цифры при буквах соответствуют номерам звеньев, которым эти точки принадлежат, и вопрос об их цифрах решается путем внимательного анализа схемы механизма. Так, точка А12, принадлежит шарниру, связывающему кривошип 1 и камень 2, и является их общей точкой (это ось вращения камня относительно кривошипа). Точка А3 принадлежит кулисе (цифры при буквах соответствуют номерам звеньев, которым эти точки принадлежат). Очевидно, что эти точки имеют разные абсолютные скорости и, следовательно, имеют относительные скорости 
или 
, направленные вдоль звена 3.
Скорость точки А12 определяется по уравнению (1). Выбор масштабного коэффициента плана скоростей mV и вектора
