Ламинарное движение является упорядоченным слоистым течением без перемешивания частиц жидкости в потоке. При этом векторы скорости частиц будут параллельны оси потока, а поперечные скорости, перпендикулярные оси движения, отсутствуют. Так как движение имеет слоистый характер, то между слоями, которые движутся относительно друг друга, будут возникать силы внутреннего (вязкостного) трения и касательные напряжения. Движение жидкости подчиняется закону трения Ньютона.
Касательные напряжения при прямолинейном ламинарном движении согласно закону Ньютона
,
где - градиент скорости.
Рассмотрим установившееся ламинарное движение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе радиусом (рис. 4.6). Так как , то движение является равномерным. Будем считать, что движущаяся жидкость в трубе разделяется на бесконечно большое количество бесконечно малых по толщине концентрически располагающихся цилиндрических слоев. Скорость в цилиндрическом слое, соприкасающемся со стенками трубы, в результате его прилипания равна нулю.
|
|
Рис. 4.6. К ламинарному движению жидкости в трубе
Касательные напряжения по поверхности рассматриваемого цилиндрического слоя толщиной dr
. (4.48)
Знак минус в (4.48) обусловлен тем, что скорость при возрастании радиуса убывает. Касательные напряжения согласно основному уравнению равномерного движения в слое жидкости
, (4.49)
где - гидравлический радиус цилиндра жидкости радиусом , выделяемый в трубе:
.
Подставляя выражение (4.49) в формулу Ньютона, получаем
. (4.50)
Приращение скорости
. (4.51)
Интегрируя дифференциальное уравнение и считая , , найдем скорость
. (4.52)
Постоянную интегрирования С определим согласно условию, что у стенки трубы скорость при , тогда
,
откуда
. (4.53)
Подставляя С по формуле (4.53) в выражение (4.52), получаем следующее уравнение:
. (4.54)
Уравнение (4.54) выражает распределение скорости в поперечном сечении трубы, которое представляет собой не что иное, как параболоид вращения относительно оси трубы. Задаваясь различными значениями, можно получить кривую распределения скоростей в сечении трубы. Кривая является параболой второй степени, ось которой - ось трубы (см. рис. 4.6).
Скорость по оси потока при - максимальная скорость определяемая как
. (4.55)
Согласно (4.49) значение касательных напряжений изменяется по сечению трубы линейно. На стенке трубы напряжения ()
. (4.56)
В центре трубы и .
Эпюра распределения касательных напряжений по сечению трубы представлена на рис. 4.6.
Расход жидкости, проходящей по трубе, определяем, используя уравнение распределения скоростей при ламинарном течении (4.54).
|
|
Элементарный расход, проходящий через площадь цилиндрического слоя толщиной dr,
.
Площадь цилиндрического слоя
. (4.57)
Тогда
. (4.58)
Интегрируем выражение (4.58) по всей поперечной площади живого сечения от до , получаем
. (4.59)
Средняя скорость () в поперечном сечении трубы
. (4.60)
Среднюю скорость выразим через диаметр и :
. (4.61)
Сравниваем среднюю скорость с максимальной скоростью в трубе :
. (462)
Средняя скорость в трубе при ламинарном движении в 2 раза меньше максимальной скорости, т.е.
. (4.63)
Потери напора по длине определим из формулы (4.61):
. (4.64)
Динамическая вязкость .
Формула представится после замены , в виде
. (4.65)
Данная зависимость (4.65) называется формулой Пуазеля-Гагена при определении потерь напора на трение по длине трубы для ламинарного режима.
Разделим и умножим формулу (4.65) на 2V, получим
, (4.66)
где (Re - число Рейнольдса),
тогда
. (4.67)
Приведем полученное выражение к виду формулы гидравлических потерь напора по длине (формула Вейсбаха-Дарси), обозначив
, (4.68)
где - коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима движения жидкости.
Таким образом, теоретически был определен коэффициент при ламинарном движении (4.68).
Гидравлический уклон
(4.69)
♦ Пример 4.2
При движении жидкости в горизонтальном трубопроводе диаметром мм расход Q=30 л/с. Разность пьезометрических высот на участке длиной =50 м составляет h =0,2 м. Определить кинематическую вязкость жидкости, полагая ламинарный режим движения.
Средняя скорость в трубопроводе
м/c
Потери напора по длине участка трубопровода =50 м согласно формуле Вейсбаха-Дарси
.
Находим коэффициент гидравлического трения , 0,2 м:
.
При ламинарном режиме коэффициент гидравлического трения по формуле (4.68)
, .
Отсюда, зная , d, V, находим кинематическую вязкость жидкости:
м2/с.
Согласно табл. П1.3 такой вязкостью обладает одна из разновидностей минерального масла, например индустриальное.