Вариация коэффициенті

Тақырыптың негізгі сұрақтары:

1. Варианта, жиілік және таңдама көлемі туралы түсінік.

2. Вариациялық қатар туралы түсінік.

3. Таңдаманың сандық сипаттамаларының формулалары: таңдама орта, таңдама дисперсия, орта квадраттық ауытқу, мода және медиана.

4. Асимметрия және эксцесстің таңдама коэффициенттері.

5. Жиілік және салыстырмалы жиілік полигоны.

6. Интервал санын есептеу үшін Стерджес формуласы.

7. Интервалдық қатардың қадамын есептеу формуласы.

8. Таңдаманың интервалдық статистикалық таралуын тұрғызу.

9. Жиілік және салыстырмалы жиілік гистограммасы.

10. Интервалдық статистикалық таралу бойынша таңдама орта табу.

Білім берудің және оқытудың әдістері: TaskBL, тиімді кері байланыс.

Таңдама. Таңдаманың сандық сипаттамалары.

Көптеген кездейсоқ құбылыстардың бағынатын заңдылығын анықтау тәселесі, бақылау нәтижесінің статистикасын зерттейтін ықтималдық теориясының әдістіне негізделген.
Математикалық статистииканың мынадайесептерін қарастырамыз:

1. Жүргізілген тәжірибенің немесе бақылаудың нәтижесінде, алынған статистикалық мағлұматтарға жинау жән оларды топқа бөлу әдістерін көрсету.

2. Зерттеудің мақсатына байланысты статистикалық мағлұматтарға анализ жасау әдістерін іздеп табу.

Математикалық статистиканың міндеті ғылыми және трактикалық тұжырымдар жасау үшін сиатистикалық мағлұматтарды жинау.

Кейде қажетті белгісі бойынша, заттар жиынтығындағы әрбір затты түгелдей тексеруге тура ккеледі. Іс жүзінде бұлай түглдей тексеру өте сирек зерттейді. Таңдап алынған жиынтық немесе жай ғана таңдамалы деп, кездейсоқ таңдап алынған заттардың жиынын айтады.

Бас жиынтық деп, таңдамалы жасалатын заттардың жиынтығын айтады.
Көлем жиынтығы деп, осы жинақтың ішіндегі заттардың санын айтады. Мысалы, егер 1000 бөлшектен тексеру ғғшін 100 бөлшек бөліп алынса, онда бас жиыниықтың көлемі N=1000, ал таңдамалы жиынтығының көлемі n=100.

Вариациялық қатар.

Бақылау нәтижесінде қарастырылып отырған белгінің жиынтықтағы, әрдір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Статистикалық бақылаудың мақсаты сол жиынтықта белгінің өзгеруін (вариасиясын) шешу. Ал белгінің мүмкін мәндерін статистикада варианта деп атайды. Варианталар сандық (дискретті немесе үздіксіз) болатын мүмкіндігін көрдік.

Тәжірибе жүргізілгенде белгі мәндері қалай болса солай орналасуы мүмкін. Мысалы, тексерілген 100 вал диаметрі см-мен 15, 12, 16, 12, 13, 14, 16, 13, 14, 12 болып шықты. Мұны реттеп жазсақ 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 16 болар еді. Мұны ықшамдап кесте түрінде жазсақ, мынадай болады:

x 12 13 14 15 16 Σ

ni 3 2 2 1 2 10.

Бұл кестенің жоғарғы жолын белгі мәндері (варианталары), ал төменгі жолында әрбір мәннің неше рет кездескені келтірілген. Осылай реттелген кестені вариацмялық қатар деп атайды.

Әдетте белгіні (вариантаны) кездейсоқ шамалар сияқты х, у, z, …., yk, z1, z2, …., zk арқылы белгілейміз. Варианта қайталап отыруы мүмкін. Ол қайталаулардың абсалютті санын (жиілігін) n1, n2… nk деп белгілесек, онда вариациялық қатардың жалпы түрін мына кесте көрсетеді.

Іс жүзінде варианта абсалютті жиілікпен қатар салыстырмалы жиілік түрінде де беріледі.

Егер вариациа үздіксіз өзгеретін болса, онда вариациалық қатарды интервалдар бойынша құруға тура келеді.

Мұндағы (x1;x2), (x2;x3), (x3;x4) …, (xm;xm+1) аралықтары белгінің мүмкін мәндері жататын интервалды к1= x2-x1; к2= x3-x2, кm= xm+1-xm – айырымдары интервалды сипаттайды.

Полигон және гистограмма.

1) Жиілік полигоны деп (xі; ni), (x2; n2), …, (xк; nк), нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Полигон салу үшін абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес жиіліктері ордината осіне салынады. (xі; ni) нүктелерін кесінділермен қоссақ жиілік полигонын аламыз (1 сурет). Салыстырмалы жиілік полигоны деп (x1; w1), (x2; w2), …, (xк; wк) нүктелерін кесінділермен қосқанда шыққан сынық сызықтарды айтады. Салыстырмалы жиілік полигонын салу үшін, абцисса осіне xі – варианттары, ал оларға сәйкес wi – салыстырмалы жиіліктер ордината осіне салынады. (xі; wі) – нүктелерін кесінділермен қоссақ салыстырмалы жиілік полигонын аламыз.
Жиілік гистограммасы деп табандарының ұзындықтары һ – қа тең дербес интервалдан, ал биіктері қатынасындай болатын тік төртбұрыштардан құрылған сатылы фигураны айтады.
Салыстырмалы жиілік гистограммасы деп, табндарының ұзындықтары һ – қа тең интервалдар, ал биіктіктері (салыстырмалы жиілік тығыздығы) қатынвсына тең тік төртбұрыштардан құрылған фигураны айтады.

Салыстырмалы жиілік гистограммасын салу үшін абцисса осіне интервалдарды, ал оның жоғарғы жағынан абцисса осіне паралелль және одан қашықтықтары қатынасына тең кесінділерді саламыз.

Сонымен салыстырмалы жиілік гистограммасының ауданы, барлық салыстырмалы жиіліктер қосындысына, яғни бірге тең.

2) Мода (М₀). Берілген вариациялық қатардың ең жиі кездесетін вариантасын мода деп атайды. Басқаша айтқанда, ең жоғары жиілікке сәйкес варианта мәні мода болады.

3) Медиана (М_е). Жиынтықты тең етіп екіге бөлетін белгі мәнін медиана деп атаймыз. Егер белгінің өзгеруші мәндері тақ болып, ұлғаю ретімен орналасса x1,x2, …, xm-1,,xm,xm+1, …,,x2n-1, онда бұл үйлестіру үшін Ме медианасы хm вариантасына тең, яғни Ме =хm, өйткені Ме =хm – нен төмен де жоғары да белгінің саны бірдей m-1 мәндері орналасқан.
Ал варианта саны жұп болса, x1,x2, …, xm-1,,xm,xm+1, …, x2m, онда бұл жиынтықты тең екіге бөлетін медиана мәні (xm,xm+1) аралығында болады. Бұл жағдайда медиана Ме – нің мәні осы екі вариантаның арифметикалық ортасы болады, яғни

4) Вариация құрамы. Ауытқу сипаттамаларының ішіндегі ең қарапайым – вариация құрамы. Мұның мәні R белгінің максимум және минимум мәнінің айырымына тең:

5) Дисперсия және орташа квадраттық ауытқу.

Кездейсоқ шамамен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия (шашырау дейді).

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(х) арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша:

Белгі мәндерінің арифметикалық ортадан ауытқу квадраттары қосындысының арифметикалық ортасын таңдамалы дисперсия немесе дисперсия дейміз.

Тандама орта және дисперсияны есептеу көбейту әдісі.

а) Шарттық варианталар.

Делік, таңдама варианттарлары өспелі ретінде орналасқан, яғни вариациялық қатар түрінде. Айырымы h – қа тең арифметикалық прогрессияны құрастыратын варианталарды бірдей қашықтықтағы варианталар деп атайды.

Алғашқы варианталарды шарттық варианталарға ауыстыруы, ықшамдалған әдістер таңдамының жинақты сипаттамаларын есептеу үшін негізделген.

б) Таңдамалы орта мен дисперсияны есептеу көбейтінді әдісін қарастырайық.
Делік, таңдама бірдей қашықтықтағы варианталар және оларға сәйкес жиіліктер түрінде берілсін. Бұл жағдайда таңдамалы ортаны және дисперсияны көбейту әдісі формулаларымен табу қолайлы.

Көбейтінді әдісін қолдауын бір мысалда қарастырайық.

Мысал. Көлемі n=100 берілген үлестірімнің таңдамалы орта мен дисперсиясын табыңыз.

Варианта: хі 12 14 16 18 20 22

Жиілік: ni 5 15 50 16 10 4

Шешуі. Бірінші есептеу кестені құрамыз; Ол үшін:

1) Варианталарды бірінші бағанға жазамыз.

2) Жиіліктерді екінші бағанға жазамыз, жиілік қосындысын (n=100) екінші бағанның төменгі торшасына жазамыз.

3) Жалған ноль (С) ретінде С=16 вариантаны аламыз, оның ең үлкен жиілігі бар (С ретінде бағаның ортасында тұрған әлде қандай вариантаны алуға болады). Жалған ноль тұрған жолдың үшінші бағанның торшасына 0 жазамыз, оның үстінен тізбектеп – 1, -2 – жазамыз, ал о – дың астына 1,2,3 жазамыз.

4) Жиіліктердің шарттық варианталарға көбейтінділерін төртінші бағанға жазамыз, ал олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз (1-кесте).

хі ni

12 5 -2 -10 20 5 1
14 15 -1 -15 15 0 0
16 50 0 0 0 50 1
18 16 1 16 16 64 4
20 10 2 20 40 90 9
22 4 3 12 36 64 16

Бақылау:

273=127+2*23+100

273=127+146

273=273

5) Жиілікті шарттық варианталардың квадраттарына көбейтіп шыққан көбейтінділерді бесінші бағанға жазамыз, шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырады.

6) Шарттық ықтималдылықтарды 1 санына үлкейтіп және олардың квадраттарын сәйкес жиеліктерге көбейтіп көбейтіндіні алтыншы бақылау бағанға жазамыз; барлық шыққан сандарды қосып, олардың қосындысын бағанның төменгі торшасына орналастырамыз.

Қорытындыда 1-ші кесте шығады.

Бақылау үшін мына теңбе-теңдікті қолданамыз:

Бақылау:; =127+2*23+100

Бақылау қосындылардың дәл келу есептеуінің дұрыс болу куәлігі. Бірінші және екінші ретті шарттық сәттерді есептейміз.

Қадамын табайық һ=14-12=2

Жалған ноль С=16 еске алып, таңдамалы орта мен дисперсияны есептейміз.

Пайдаланған әдебиеттер:

1. Ә.Н.Шыныбеков.Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Оқу құралы.-Алматы:Экономика,2008.-236 б.

2. Лукьянова Е.А. Медицинская статистика.- М.: Изд. РУДН, 2002.

3. Медик В.А.,Токмачев М.С.,Фишман Б.Б.Статистика в медицине и биологии. М.: Медицина, 2000.

4. И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов) М., «ГЭОТАР - МЕД»; 2008

5. Гланц С. Медико-биологическая статистика – М.:Практика,1999.

6. Рокицкий П.Ф. Биологическая статистика.- Высшая школа, 1973.

Тақырып бойынша бақылау сұрақтары:

1. Варианта, жиілік және таңдама көлемі туралы түсінік.
2. Вариациялық қатар туралы түсінік.
3. Таңдаманың сандық сипаттамаларының формулалары: таңдама орта, таңдама дисперсия, орта квадраттық ауытқу, мода және медиана.
4. Асимметрия және эксцесстің таңдама коэффициенттері.
5. Жиілік және салыстырмалы жиілік полигоны.
6. Интервал санын есептеу үшін Стерджес формуласы.
7. Интервалдық қатардың қадамын есептеу формуласы.
8. Таңдаманың интервалдық статистикалық таралуын тұрғызу.
9. Жиілік және салыстырмалы жиілік гистограммасы.

10. Интервалдық статистикалық таралу бойынша таңдама орта табу.

№3 САБАҚ.

Тақырыбы: Статистикалық жорамалдарды тексеру. Қалыпты таралған жиынтықтардың параметрлері жөніндегі жорамалдарды тексеру. Әр түрлі мәнділік деңгейлері, таралудың түрлері бойынша критерийлердің қуаттылығын тексеру. Сенім аралықтары бойынша жорамалдарды тексеру.

Жұмыстың мақсаты: Статистикалық жорамалдарды тексеру теориясының негізгі принциптерімен және ұғымдарымен танысу. Нөлдік және балама жорамалдарды ұйғару, параметрлік критерийлерді дұрыс таңдау дағдыларын қалыптастыру. Параметрлік емес критерийлермен танысу. Параметрлік критерийлер мен келісім

Тақырыптың негізгі сұрақтары:

1. Жорамалдарды статистикалық тексеру міндеттері.

2. Статистикалық жорамал. Статистикалық критерий. Жорамалды тексерудің негізгі қағидасы.

3. Жорамалдарды тексеру әдістемесі.

4. Қалыпты таралған бас жиынтықтың параметрлері жөніндегі жорамалды тексеру. Стьюдент критерийі.

5. Параметрлік емес критерийлер және оларды қолдану.

6. Манн-Уитни критерийі.

7. Тәуелді таңдамалар критерийлері: Уилкоксон критерийі.

8. Колмогоров-Смирнов, Пирсонның Хи-квадрат критерийі.

Білім берудің және оқытудың әдістері: TaskBL, тиімді кері байланыс

Медициналық зерттеулерде ағзаның қалыпты және патологиялық, емдеуге дейін және емдеуден кейінгі немесе әртүрлі емдеу әдістерін қолданған жағдайларындағы көрсеткіштерін салыстыру маңызды орын алады. Басқаша айтқанда, статистикалық жорамалдарды тексеру интуициялық медицинаның емес, дәлелді медицинаның негізгі құралы болып табылады.

Статистикалық есептерді қолданумен байланысты практикада жиі кездесетін есептердің бірі, берілген таңдама негізінде бас жиынтыққа қатысты айтылған қандай-да бір ұйғарымды қабылдау немесе жоққа шығару туралы сұраққа жауап беру болып табылады.

Статистикалық әдістерді қолданумен байланысты практикада жиі кездесетін есептердің бірі, берілген таңдама негізінде бас жиынтыққа қатысты айтылған қандай да бір ұйғарымды қабылдау немесе жоққа шығару туралы сұраққа жауап беру болып табылады. Мылалы, жаңа дәрі адамдардың белгілі бір санында сыналды делік. Осы емдеу нәтижесі бойынша, жаңа дәрі бұдан бұрын қолданып келген емдеу әдісіне қарағанда тиімді деп дәлелді қорытынды жасауға бола ма?

Айтылған ұйғарымды (жорамалды) таңдама деректерімен салыстыру үрдісі жорамалдарды тексеру деп аталады.

Статистикалық жорамал – бұл таңдама көрсеткіштерінің негізінде тексеру болатын бас жиынтықтың таралу түрі жөніндегі немесе белгісіз параметрлерінің шамасы жөнінднгі ұйғарым.

Статистикалық жорамалдардың мысалы:

1. Бас жиынтық қалыпты таралған.

2. Қалыпты таралған екі жиынтықтың орта мәндері тең.

Түрі белгілі таралудың параметрлері жөніндегі статистикалық жорамалдар параметрлік жорамалдар, ал белгісіз таралудың түрі жөніндегі жорамалдар параметрлік емес жорамалдар деп аталады.

Статистикалық жорамалдар таңдама деректері негізінде статистикалық әдістермен тексеріледі. Жорамалдарды статистикалық тексеруге әртүрлі үрдістерді салыстыру және бағалау жатады: емдеудің тиімділігі, ауырудың және одан жазылу кезеңдерінің ұзақтығы, сырқаттың ауырлығы, емдеу әдістері.

Тексерілуге жататын негізгі жорамал нөлдік жорамал деп аталады және Н₀ арқылы белгіленеді.

Нөлдік жорамалмен бәсекелес, яғни оған қарама-қайшы келетін жорамал балама жорамал деп аталады және Н₁ арқылы белгіленеді.

Бір ғана ұйғарымнан тұратын жорамал жай, ал жай жорамалдардың шекті немесе шексіз санынан тұратын жорамал күрделі деп аталады.

Мысалы, Н₀: а=а₀ - жай,

Н₀: а>5 - күрделі.

Н₀ жорамалын қабылдау немесе жоққа шығару жөніндегі ереже статистикалық критерий деп аталадыназывается.

Жорамалды тексеру X₁,X₂,…,X_n таңдамаларының нәтижелері негізінде T_n=T(X₁,X₂,…,X_n ) таңдама функциясын құру арқылы жүзеге асады. T_n функциясын критерий статистикасы деп атайды.

Жорамалдарды тексерудің негізгі принципі:

T_n критерий статистикасының мүмкін мәндер жиыны екі қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлінеді:

1) S сыни аймағы, яғни Н₀ жорамалын жоққа шығару аймағы,

2) жорамалды қабылдау аймағы.

Егер критерий статистикалық бақылау нәтижелері бойынша есептелген мәндері (T_бақ=T(X₁,X₂,…,X_n )) S сыни аймағына түссе, онда Н₀ жоққа шығарылады және Н₁қабылданады, егер Т_бақ аймағына түссе, онда Н₀ қабылданады, ал Н₁ жоққа шығарылады.

Статистикалық жорамалдарды қабылдау немесе жоққа шығару туралы шешім таңдама деректері бойынша қабылданады. Сондықтан, шешімнің қате болу мүмкіндігімен санасу қажет. Қателік екі текті болуы мүмкін.

Бірінші текті қателік - Н₀ жоққа шығару, негізінде ол дұрыс.

Екінші текті қателік - Н₀ қабылдау, негізінде ол дұрыс емес.

Бірінші текті қателікті жіберу ықтималдығы критерийдің мәнділік деңгейі деп аталады және a(альфа) арқылы белгіленеді.

Екінші текті қателікті жібермеу ықтималдығы критерийдің қуаттылығы деп аталады және b(бета) арқылы белгіленеді.

Параметрлік критерийлер қалыпты таралған жиынтықтың параметрлері жөніндегі жорамалдарды тексеру үшін қолданады. Ең көп таралған параметрлік критерий - Стьюденттің t-критерийі. Тәуелді және тәуелсіз таңдамалар үшін сәйкес Стьюденттің жұптасқан және жұптаспаған критерийлері қолданылады.

Стьюдент критерийі медициналық-биологиялық зерттеулерге тән көлемдері аз таңдамалар үшін қолданылады.

Бас жиынтықтан алынған кейбір таңдамалардың таралу түрі белгісіз, алайда оның қандай-да бір түрі туралы айтуға болатындай жағдайлар жиі кездеседі.Мұндай жағдайларда нөлдік жорамал төмендегідей түрде ұйғарылады: Н₀ – бас жиынтық А заңы бойынша таралған.

Келісім критерийі – бұл түрі белгісіз таралудың ұйғарылған заңы жөніндегі жорамалды тексеру критерийі.Оның көмегімен эмпирикалық деректер мен теориялық деректердің келісілетіні немесе келісілмейтіні тексеріледі.

Пирсонның Хи-квадрат келісім критерийі таралудың заңы жөніндегі жай жорамалды тексеру үшін ең жиі қолданылатын критерий.Тексеру үшін нөлдік жорамалды ұйғарады Н₀: “эмпирикалық таралу мен теориялық таралудың арасында ешқандай айырмашылық жоқ”. Критерийді қолданудың негізгі идеясы теориялық жиіліктер мен эмпирикалық жиіліктерді салыстыру болып табылады. Егер эмпирикалық жиіліктер (n_i) теориялық жиіліктерден (np_i) қатты ерекшеленетін болса, онда тексерілетін жорамалды жоққа шығару керек; керісінше жағдайда қабылдау қажет.

Колмогоров-Смирновтың келісім критерийі мәндердің аз санында да жеткілікті сезімтал болып келеді. Оны кез-келген таралудың сәйкестігін тексеру үшін қолдануға болады. Алайда, жорамал бойынша тағайындалған таралу функциясы үздіксіз болуы керек екендігін ескеру қажет.

Параметрлік емес критерийлер бас жиынтықтың таралу түріне тәуелсіз, берілген жиынтықтың варианталары мен олардың жиіліктеріне ғана тәуелді функциялар болып табылады.Параметрлік емес критерийлер параметрлік критерийлер үшін қажетті болып табылатын таралудың кейбір параметрлерін есептеуді талап етпейді.Сондықтан параметрлік емес критерийлерді және параметрлік емес статистика әдістерін параметрден бос немесе еркін таралған деп атайды.

Параметрлік емес критерийлерді қолданудың тиімділігі мен мүмкіндіктері:

- зерттелетін жиынтықтың таралу түрі белгісіз, бұл көбіне көлемі аз жиынтықтармен жұмыс істегенде мәнді;

- сандық және сапалық белгілермен жұмыс істеуге мүмкіндік береді;

- таңдама орта және таңдама ортаның стандартты қатесін есептеу талап етілмейді;

- зерттеліп отырған жиынтықтар арасында айырмашылықтардың бар немесе жо&