Показатели вариации

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина — обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строение сово­купности, не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредото­чены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее.

Если отдельные варианты недалеко отстоят от средней, то говорят, что данная средняя хорошо представляет изучаемую со­вокупность. Для изучения величины отклонений применяют по­казатели вариации.

При характеристике колеблемости признака применяют сис­тему абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсия; среднее квадратическое отклонение. Эти показатели (кроме дисперсии) измеряются в тех же единицах, что и сам признак: в тоннах, метрах, секундах, рублях.

К относительным показателям вариации относятся: коэффициент осцилляции; линейный коэффициент вариации; простой коэффициент вариации. Эти показатели выражаются в процентах или относительных величинах.

1. Размах вариации — наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

R = , (20)

где x_max — наибольшее значение признака; x_min — минимальное значение признака.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется раз­мер признака, образующего ряд распределения. Показатель прост в вычислении и указывает на общие размеры вариации, но он не дает представления о степени колеблемости внутри сово­купности, так как вычисляется на основе только двух крайних значений признака совокупности. И все же размах вариации имеет теоретическое и практическое значение. С его помощью определяют допустимые размеры колебаний, сравнивают их с установленными.

Более точную характеристику колеблемости можно полу­чить, если сравнить все имеющиеся значения с их средней вели­чиной. В таком случае исчисляют другие показатели колеблемо­сти изучаемого признака — среднее линейное отклонение, дис­персию и среднее квадратическое отклонение.

2. Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их сред­ней.

Среднее линейное отклонение рас­считывается по формуле средней арифметической простой или средней арифметической взвешенной:

. (21)

3. Дисперсией называется средний квадрат отклонений индиви­дуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия равна:

Д = . (22)

Характеризует степень рассеяния (отклонения) статистических данных от их среднего значения. Малое значение дисперсии означает, что данные в основном сгруппированы вокруг их среднего значения, то есть близки к нему. Если же значение дисперсии велико, то это свидетельствует о значительном разбросе данных относительно средней.

4. Среднее квадратическое отклонение равно корню квадрат­ному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины, то есть из дисперсии:

σ = . (23)

5. Коэффициент вариации (V) представляет собой отношение среднего квадратического отклонения (абсолютного показателя вариации) к среднему значению и рассчитывается по формуле:

V = * 100%. (24)

С помощью коэффициента вариации можно оценивать колеблемость величин различных признаков, например: размер колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т. д. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Например, урожайность зерновых в двух хозяйствах района одинакова и составляет 25 ц/га. Однако средние квадратические отклонения различны и составляют в первом хозяйстве 5 ц/га, а во втором – 10 ц/га.

Определим коэффициенты вариации:

V1 = *100% = 5/25 * 100 % = 20 %;

V2 = * 100 % = 10/25 *100% = 40%.

Коэффициент вариации 20 % в первом хозяйстве свидетельствует об однородности статистических данных, то есть показывает, что урожайность зерновых на всех полях близка к средней. Вариация же 40 % во втором хозяйстве свидетельствует об обратном, то есть говорит о том, что урожайность на разных полях этого хозяйства существенно различается. Есть поля, где урожайность составляет 35-40 ц/га, и поля где она не превышает 10-15 ц/га. То есть средний размер урожайности в 25 ц/га не типичен для данного хозяйства, он не отражает фактической урожайности разных полей хозяйства. Соответственно здесь требуются дополнительные статистические исследования, например, группировка полей по урожайности и исследование влияющих на нее факторов.

Помимо коэффициента вариации вычисляют линейный коэффициент вариации как отношение среднего линейного отклонения к средней в процентах:

. (25)

Отношение размаха вариации к средней называется коэффициентом осцилляции:

. (26)