Задача 1. На основании информации о деятельности фирмы в течение 9 лет (табл. 1) провести следующие действия с использованием ППП Excel:
- определить наличие тренда Yp(t);
- построить линейную модель Yp(t) = a0 + a1xt, параметры которой оценить по методу наименьших квадратов (МНК);
- построить точечный и интервальный прогнозы трудоемкости производства продукции на два года вперед.
Таблица 1. Сведения о деятельности фирмы
Текущий номер года, t | |||||||||
Трудоемкость продукции, yt | 8,8 | 9,2 | 8,4 | 7,8 | 8,1 | 7,4 | 6,7 | 5,8 |
Решение. Для решения данной задачи выполним следующий алгоритм:
10. Определим наличие тренда по методу Тинтнера, для чего в столбцы А и В занесем исходные данные (рис. 1).
Рис.1. Окно - исходная таблица
20. Проверим гипотезу о равенстве дисперсий с помощью F-теста, который можно найти среди инструментов Анализа данных (рис. 2)
Рис. 2. Окно «Анализ данных»
30. Ввести данные для выполнения F-теста, указав интервал для первой и второй переменных (рис. 3). Результат выполнения теста приведен на рис. 4. Анализируя результаты выполнения двухвыборочного F-теста для проверки гипотезы о равенстве дисперсий, делаем вывод, что дисперсии различаются незначимо.
Рис. 3. Диалоговое окно
Рис. 4. Расчетные результаты анализа метода Тинтнера
40. Выбрать инструмент анализа Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 5) и ввести данные (рис. 6). Результат выполнения t-теста дан на рис.7. Анализируя тест, видно, что тренд существует.
50. Построение линейной модели вида yt = a0 + a1t.
Определим параметры модели yt по методу МНК с помощью надстройки Анализ данных. Для регрессионного анализа необходимо:
- выбрать команду Сервис →Анализ данных. В окне Анализ данных выбрать инструмент Регрессия, а затем нажать кнопку ОК (рис.8);
Рис. 5. Диалоговое окно
Рис.6. Диалоговое окно
Рис. 7. Результаты теста
Рис. 8. Диалоговое окно
Рис. 9. Диалоговое окно
- в окне Регрессия в поле Входной интервал Y ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X ввести адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t. Если выделены и заголовки столбцов, установить флажок Метки в первой строке;
- выбрать параметры вывода (в данном примере – Новый рабочий лист); в поле График подбора поставить флажок; в поле Остатки поставить необходимые флажки и нажать кнопу ОК (рис. 9).
Результат регрессионного анализа получим в виде, приведенном на рис. 10. Во втором столбце таблицы рис. 10 находятся коэффициенты уравнения регрессии а0 = 10,00476; а1.= -0,469047.
Рис. 10. Результат регрессионного анализа
Уравнение регрессии имеет следующий вид: Yt = 10 - 0,47t.
60. Проведем оценку параметров линейной модели вручную (рис. 11).
Рис. 11. Промежуточные расчеты данных линейной модели
В результате расчетов получаем примерно аналогичные результаты.
Иногда для проверки расчетов полезно проверить формулы. Для этого следует выбрать команду Сервис →Параметры и поставить флажок в окне формулы (рис. 12). После этого на листе Excel расчетные значения будут заменены соответствующими формулами и функциями (рис. 13).
Рис. 12. Диалоговое окно
Рис. 13. Программа на Excel.
70. Построение точечного и интервального прогноза на 2 шага вперед.
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k: прогн(n+k) = а0 + а1(n+k). Тогда получим: = 10 - 0,47*10 = 5,3; = 10 - 0,47*11 = 4,83.
Для вычисления интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Ширину доверительного интервала рассчитаем по формуле:
Yn+L ( n+L - сКр; n+L + сКр),
где с возьмем из полученного протокола регрессионного анализа.
с = = = = 0,35.
Таким образом, интервал равен: сКр = 0,35*1,05 = 0,3675.
Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза:
y10 (5,3 – 0,3675 = 4,9325; 5,3 + 0,3675 = 5,6675),
y11 (4,83 – 0,3675 = 4,4625; 4,83 + 0,3675 = 5,1975).
Рис. 14. График фактического временного ряда и его линейной модели