Контрольная работа № 2

1. Номер варианта определяется по таблице, представленной на стр. 4.

2. В соответствии со своим вариантом используйте начальные данные, представленные в следующей таблице:

№ вар.	Рабочее тело	Химическая формула	М кг/моль	d нм	V1 Л	Р1 Па	Т1 К	n1	n2
	Азот	N2	0,028	0,38		20·105		3,5	2,5
	Аргон	Ar	0,040	0,35		15·106
	Азот	N2	0,028	0,38		9·106
	Водяной пар	H2O	0,018	0,30		3·106
	Аргон	Ar	0,040	0,35		4·106
	Аргон	Ar	0,040	0,35		2·106		1,8
	Гелий	He	0,004	0,22		9·106			1,5
	Водяной пар	H2O	0,018	0,30		2·106
	Водяной пар	H2O	0,018	0,30		8·105
	Воздух	Cмесь газов	0,029	0,27		2·106		1,5	1,5
	Углекислый газ	CO2	0,044	0,33		15106
	Воздух	Cмесь газов	0,029	0,27		106
	Воздух	Cмесь газов	0,029	0,27		2·106
	Аргон	Ar	0,040	0,35		18·106
	Углекислый газ	CO2	0,044	0,33		106		1,5	1,5

Условие задачи:

Тепловая машина работает по циклу Карно (см. рисунок) – круговому процессу, совершаемому по часовой стрелке. Рабочее тело изотермически расширяется в n₁ раз из состояния (1) в состояние (2). Участок цикла (2) - (3) это адиабатное расширение в n₂ раза. Участок (3) - (4) – изотермическое сжатие, участок (4) - (1) – адиабатное сжатие.

Пример решения задачи

Дано:

рабочее тело – углекислый газ (СО₂)

V₁ = 10 л = 10^{-2 м3}

Р₁ = 2·10⁶ Па

Т₁ = 900 K

d = 0,33·10^{-9 м}

M = 0,044 кг/моль

i = 6; n₁ = 3; n₂ = 1,5

Найти:

1. Массу рабочего тела m.

2. Параметры состояний (2), (3), (4).

3. Плотность рабочего тела в состоянии (3) ρ ₃.

4. Среднюю длину свободного пробега молекул рабочего тела в состоянии (1) < l ₁>.

5. Коэффициент диффузии рабочего тела в состоянии (2) D₂.

6. Среднее значение энергии поступательного движения всех молекул рабочего тела в состоянии (1) E_п.

7. Среднее значение энергии вращательного движениявсех молекул рабочего тела в состоянии (1) Е_в.

8. Теплоемкость рабочего тела с_р, с_v.

9. Значение работ для отдельных участков цикла.

10. Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя Q₁.

11. Количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю Q₂.

12. Работу, совершаемую тепловой машиной за один цикл А.

13. Коэффициент полезного действия тепловой машины η.

14. Изменение внутренней энергии для отдельных участков цикла ΔU.

Масса m рабочего тела найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона для состояния (1):

, (1)

где P₁,V₁,T₁ - давление, объем, абсолютная температура для состояния (1), М – молярная масса, R=8,31 - универсальная газовая постоянная.

Участок (1) - (2) – изотермическое расширение при T₁. Уравнение Менделеева - Клапейрона для состояния (2):

(2)

Сопоставив формулы (1) и (2), получим:

Отсюда:

(3)

По условию задачи, при изотермическом расширении (1) - (2), объем V₂ возрастает в n₁раз, т.е. .

Из формулы (3) получим:

м³

Участок (2) - (3) - адиабатное расширение в n₂ раз. Согласно уравнению для адиабатного процесса:

= const,

где - показатель адиабаты.

- число степеней свободы молекулы. Для одноатомных молекул (Ar, He) =3, для двухатомных молекул (N₂, O₂) =5, для трехатомных молекул (CO₂ , H₂O) =6. (Внимание! Для воздуха принять =5).

Для процесса (2) - (3) уравнение Пуассона принимает вид:

Находим:

(4)

По условию задачи м³.

Тогда уравнение (4) примет вид:

Вычислим показатель адиабаты:

Находим давление в состоянии (3)

Точка 4 цикла находится на пересечении изотермы (3) - (4) и адиабаты (4) - (1). Для изотермы (3) - (4) справедливо соотношение:

(5)

Для адиабаты (4) - (1):

(6)

Представляем (5) в (6):

После упрощения получим:

По формуле (5) вычисляем P₄:

Для адиабатного процесса:

= const (7)

Тогда для адиабаты (2) - (3) можно записать:

(8)

Из формулы (8) определяем температуру T₂ состояния (3):

Параметры состояний 1,2,3,4 приведены в таблице:

Состояние	P, Па	V, м3	T, К
	P1 =2×106	V1 = 10-2	T1 = 900
	P2 =0,667×106	V2 = 3×10-2	T2 = 900
	P3 =0,389×106	V3 = 4,5×10-2	T3 = 786
	P4 =1,169×106	V4 = 1,498×10-2	T4 = 786

Плотность водяного пара в состоянии (3):

Средняя длина свободного пробега молекул в состоянии (1):

, (9)

где - эффективный диаметр молекул (табличная величина), - концентрация молекул в состоянии (1):

(10)

Здесь - число молекул, - число молей, - число Авогадро. Подставляя (10) в (9), вычисляем среднюю длину свободного побега молекул:

(11)

Коэффициент диффузии D ₂ молекул водяного пара в состоянии (2):

, (12)

где - средняя скорость молекул водяного пара в состоянии 2, - средняя длина пробега молекул в состоянии 2.

Для по аналогии с формулой (11) запишем:

После подстановки выражений и < l > в (12) получим коэффициент диффузии в состоянии (2):

Среднее значение кинетической энергии поступательного движения всех молекул водяного пара при температуре Т₁:

, (13)

где - среднее значение кинетической энергии поступательного движения одной молекулы.

Среднее значение кинетической энергии вращательного движения молекул при температуре Т₁:

- число вращательных степеней свободы молекул. Для одноатомных молекул =0, для двухатомных молекул =2, для трехатомных молекул .

Теплоемкость при постоянном давлении для данной массы газа:

- молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении.

Теплоемкость при постоянном объеме для данной массы газа:

- молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме.

Работа изотермического процесса:

, (14)

где V_н- начальный объем, V_к- конечный объем.

При изотермическом расширении 1 - 2 работа газа равна:

При изотермическом сжатии 3 – 4 работа газа равна:

Работа адиабатного процесса равна:

, (15)

Работа адиабатного расширения 2-3:

Работа адиабатного сжатия 4-1:

Работа A, совершаемая тепловой машиной за один цикл равна: Определим количество теплоты , полученное от нагревателя и количество теплоты , отданное рабочим теплом охладителю.

Согласно первому началу термодинамики

, (16)

где - количество теплоты, переданное системе, - изменение внутренней энергии системы, -работа, совершенная системой.

Внутренняя энергия идеального газа:

Изменение внутренней энергии газа:

(17)

Рабочее тело получает теплоту от нагревателя при изотермическом расширении (1) - (2). При этом DU = 0. Тогда согласно равенству (16):

При изотермическом сжатии (3) - (4) охладителю отдается количество теплоты:

Адиабатные процессы 2-3 и 4-1 проходят без теплообмена с окружающей средой. Тогда работа, совершенная за один цикл, будет равна:

Это значение совпадает со значением, полученным выше путем суммирования работ для отдельных участков цикла.

Коэффициент полезного действия тепловой машины равен отношению работы , совершенной за один цикл, к количеству теплоты , полученному от нагревателя:

Для цикла Карно КПД можно определить через температуры нагревателя и охладителя:

Для изотермических процессов (1) - (2) и (3) - (4) изменение внутренней энергии равно:

Так как при адиабатных процессах нет теплообмена с окружающей средой , из формулы (16) следует:

Тогда изменение внутренней энергии при адиабатном расширении (2) - (3) будет равно:

Изменение внутренней энергии при адиабатном сжатии (4) - (1) равно