2015-10-22
733
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
Основные формулы
· Закон Кулона
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; e - диэлектрическая проницаемость среды; e0 – диэлектрическая постоянная:
· Закон сохранения заряда
где 
- алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – число зарядов.
• Напряженность электрического поля
Е = F/q,
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля.
• Поток вектора напряженности Е электрического поля:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция вектора напряженности на нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,
ФЕ=EScosa.
• Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
где интегрирование ведется по всей поверхности.
• Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1, q2,…, qn,
|
|
|
где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри
замкнутой поверхности; п — число зарядов.
• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда,
• Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r отцентра сферы:
а) внутри сферы (г < R)
Е=0;
б) на поверхности сферы (г = R)
в) вне сферы (г > R)
• Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:
Е= Е1+Е2+…+ Еп.
В случае двух электрических полей с напряженностями Е1 и Е2 модуль вектора напряженности
где а — угол между векторами Е1 и Е2.
• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,
где t — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):
• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
где s — поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
• Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью s заряда (поле плоского конденсатора)
|
|
|
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.
• Электрическое смещение D связано с напряженностью Е электрического поля соотношением
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.
• Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного положительного точечного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру 
где 
— проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:
• Потенциал электрического поля - величина равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду:
j= П/q,
1. или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:
j = A/q.
2. Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.
Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа АВС внешних сил равна по модулю работе АСП сил поля и противоположна ей по знаку:
АВС= - АСП.
• Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии г от заряда,
• Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:
внутри сферы (r < R) 
;
на поверхности сферы (r = R) ;
вне сферы (r > R)
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
• Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов j1, j2,…, jn, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2,…, qn:
• Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q1, q2,…, qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
где ji — потенциал поля, создаваемого всеми n - 1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi.
• Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Е = - gradj.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой
или в скалярной форме
а в случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,
E = (j1 - j2)/d,
где j1 и j2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
• Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j1, в другую, имеющую потенциал j2,
или 
где El — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; dl — перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает вид
А = qE.l cos a,
где l— перемещение; a — угол между направлениями вектора Е и перемещения l.
• Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора
С =D q / D j
где D q — заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Dj — изменение потенциала, вызванное этим зарядом.
|
|
|
• Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью e,
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.
• Электрическая емкость плоского конденсатора
где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними; e — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектриком толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями ei (слоистый конденсатор),
• Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1 и R 2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:
в общем случае
где n — число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый
• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
в общем случае 
в случае двух конденсаторов 
в случае та одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый С = пС1.
• Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал j и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:
• Энергия заряженного конденсатора
где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциалов на его пластинах.
• Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)
где Е— напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью e; D— электрическое смещение.
• Сила постоянного тока
где Q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.
|
|
|
• Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника:
где k — единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда.
• Сопротивление однородного проводника
где r — удельное сопротивление вещества проводника; l — его длина.
• Проводимость G проводника и удельная проводимость g вещества
• Зависимость удельного сопротивления от температуры
где r и r0 — удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t — температура (по шкале Цельсия); a — температурный коэффициент сопротивления.
• Сопротивление соединения проводников:
последовательного
параллельного
Здесь Ri — сопротивление i-го проводника: п — число проводников.
• Закон Ома:
для неоднородного участка цепи
для однородного участка цепи
для замкнутой цепи (j1=j2) I = e /R
Здесь (j1 - j2) — разность потенциалов на концах участка цепи; e12 — ЭДС источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи.
• Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.
где n — число токов, сходящихся в узле.
Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.
где Ii — сила тока на i-м участке; Ri — активное сопротивление на i-м участке; ξ i — ЭДС источников тока на i-м участке; п — число участков, содержащих активное сопротивление; k — число участков, содержащих источники тока.
• Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t,
• Мощность тока
• Закон Джоуля — Ленца
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепизавремя t.
Закон Джоуля — Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Основные формулы
• Закон Био — Савара — Лапласа
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; m — магнитная проницаемость; m0 = 4p×10-7 Гн/м — магнитная постоянная; d l — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.
Модуль вектора dB выражается формулой
где a — угол между векторами d l и r.
• Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением
или в вакууме
• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
где R — радиус кривизны проводника.
• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,
где r — расстояние от оси проводника.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника,
При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция, -cosj2 = cosj1 = cosj и, следовательно,
• Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),
где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.
• Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций B1, B 2,…, Вп складываемых полей, т. е.
В частном случае наложения двух полей
а модуль магнитной продукции
где a — угол между векторами В1 и В2.
• Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,
где I — сила тока; I — вектор, равный по модулю длине I проводника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.
Модуль вектора F определяется выражением
где а — угол между векторами I и В.
• Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 ц 12, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной I, выражается формулой
• Магнитный момент контура с током
где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.
• Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
Модуль механического момента
где a — угол между векторами рт и В.
• Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле
• Сила, действующая на контур с током в магнитном полe, изменяющемся вдоль оси x,;
где 
— изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, расcчитанное на единицу длины; а — угол между векторами рт и B.
• Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой
где a — угол, образованный вектором скорости v движущейся частицы и вектором магнитной индукции В.
• Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
А =I DФ,
где DФ — изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.
• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея— Максвелла)
где e i — электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; y— потокосцепление.
Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:
а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,
где a — угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукции В;
б) электродвижущая сила индукции ξi, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В
где wt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали п к плоскости рамки.
• Количество электричества Q, протекающего в контуре,
где R — сопротивление контура; Dy — изменение потокосцепления.
• Электродвижущая сила самоиндукции ξi, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,
где L — индуктивность контура.
• Потокосцепление контура
где L — индуктивность контура.
• Индуктивность соленоида (тороида)
Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой
• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L:
а) после замыкания цепи
где Е — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;
б) после размыкания цепи
где I0 — сила тока в цепи при t = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.
• Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой
где I — сила тока в контуре.
• Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)
