Лекция 17. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1.

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0,

sin x · cos x – sin ² x = 0,

sin x · (cos x – sin x) = 0,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x,

cos 4x · (cos 2x – cos 4x) = 0,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0,

1). cos 4x = 0, 2). sin 3x = 0, 3). sin x = 0,