Тригонометрия. Квадратные уравнения

Модули

Квадратные уравнения

Степени

1. a^m ∙ aⁿ = a^m+n;

2. = a^{m − n};

3. = a^m∙n;

4. = ;

5. a^–n = ;

6. a⁰ = 1 при a ≠ 0; (0⁰ – смысла не имеет)

7. = ;

8. aⁿ ∙ bⁿ = (a ∙ b)ⁿ;

9. = ;

10. = ;

11. = ;

12. = ;

1. a∙x² + b∙x + c = 0; b − нечетное;

D = b² − 4∙a∙c; x_1,2 = ;

2. a∙x² + b∙x + c = 0; b − чётное;

D = − a∙c; x_1,2 = ;

3. x² + p∙x + q = 0; p − чётное;

D = − q; x_1,2 = −;

4. Теорема Виета для квадратного уравнения:

x² + p∙x + q = 0;

x₁ + x₂ = −p;

x₁ ∙ x₂ = q;

1. Определение модуля:

a при a ≥ 0;

│a│ =

–a при a < 0;

2. Если │A│ = 5, то A = 5 или A = −5;

3. Если │A│ = −2, то равенство не имеет смысла, т.е. A Ø;

4. Если │A│ = 0, то A = 0;

5. = ;

6.

7. Если │A│ < 5, то −5 < A < 5;

8. Если │A│ > 7, то A > 7 или A < −7;

9. Если │A│ > −3, то −∞ < A < +∞;

10. Если │A│ < −2, то неравенство не имеет смысла, т.е. AØ;

1. Единицы измерения углов:

градус − часть окружности;

минута − часть градуса;

секунда − часть минуты;

радиан − центральный угол, длина дуги которого равна его радиусу;

1 радиан = 57°17´44,806˝;

π радиан = 180°;

1° = 0,017 453 292 519 943 радиана;

π = 3,14 159 265 358 979 323 846 264…

2. Знаки по четвертям

sinα; cosecα cosα; secα tgα; ctgα

+ + − + − +

− − − + + −

3. Периоды тригонометрических функций

sin(x + 2∙k∙π) = sin x; T = 2∙π;

cos(x + 2∙k∙π) = cos x; T = 2∙π;

tg(x + k∙π) = tg x; T = π;

ctg(x + k∙π) = ctg x; T = π;

4. Основные соотношения между функциями одного и того же аргумента

; ;

; ;

; ;

; ;

5. Изменение знака аргумента

(чётность и нечётность функций)

sin(−x) = −sin x; нечётная

cos(−x) = cos x; чётная

tg(−x) = −tg x; нечётная

ctg(−x) = −ctg x; нечётная

sec(−x) = sec x; чётная

cosec(−x) = −cosec x; нечётная

6. Формулы приведения

1) номер четверти;

2) знак функции в этой четверти;

3) “негритянское” правило:

π или 2∙π (горизонтальная ось−нет) − не менять на кофункцию;

или (вертикальная ось−да) − менять на кофункцию;

7. Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x y = arccos x

−1 ≤ x ≤ 1 ≤ arcsin x ≤ 0 ≤ arcos x ≤ π

y = arctg x

y = arcctg x

−∞ < x < +∞ < arctg x < 0 < arcctg x < π

;

;

;

;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

при −∞ < x < +∞;

при ;

при ;

при ;

при ;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

8. Таблица значений тригонометрических функций для некоторых

значений аргумента

α градусы	0°	15°	22°30´	30°	45°	60°	67°30´	75°	90°
α радианы
sinα
cosα
tgα									не сущ.
ctgα	не сущ.

9. Решение простейших тригонометрических уравнений

Общие формулы:

1)

kZ;

2)

kZ;

3)

kZ;

4)

kZ;

Частные случаи:

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

kZ;

10. Формулы суммы и разности двух аргументов

11. Формулы двойного аргумента

12. Формулы тройного аргумента

13. Формулы половинного аргумента

14. Выражение через тангенс половинного аргумента

Если , то

15. Преобразование суммы в произведение

16. Преобразование произведения в сумму

формулы

понижения степени

17. Выражение произведения через сумму

1) если , то

2) если , то

18. Формулы тройного аргумента

19. Некоторые числовые значения

Вывод этих формул:

сокращаем далее на cos18° и т.д.

20. Вычисление прямых функций от обратных

обратные прямые	arcsin x	arccos x	arctg x	arcctg x
sin	x
cos		x
tg			x
ctg				x

21. Геометрическая интерпретация тригонометрических функций