Метод Лагранжа (метод вариации постоянной)

Решение уравнения у ¢+ Р (x) у = Q (x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у ¢+ Р (x) у =0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у = f (x)+ C, где С = const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у = f (x)+ C (х), где С (х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у ¢ и подставим у и у ¢ в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С (х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С (х) в общее решение заданного уравнения.

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

y ′ ctgx + y =2 Метод Бернулли. Пусть y = uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y ′= u′v + uv ′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v + uv′) ctgx + uv =2; u′vctgx + u (v′ctgx + v)=2; v′ctgx + v =0 Получили уравнение с разделяющимися переменными:

Определим функцию u: u′vctgx +u·0=2 Þ u′vctgx =2 Þ u′cosxctgx =2

Итак, у=2+ Ccosx, где С= const – общее решение уравнения.

y ′= y / х +2 х ² Метод Бернулли.

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Метод Лагранжа. Составим вспомогательное уравнение:

- это уравнение с разделяющимися переменными, итак,

где С = const - общее решение вспомогательного уравнения. Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде:

, где С (х)- некоторая функция от х.

. Подставим полученные выражения в заданное уравнение и найдём С (х):

, где C^*=const,

- общее решение уравнения.

, у ₀=0_, х ₀=0 Метод Лагранжа. у=sinx+C*cosx - общее решение; у=sinx - частное решение (решение задачи Коши).

. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка (ЛДУ−II)

ЛДУ−II называется уравнение вида: у ²+ Р (x) у ¢+ Q (x) у = R (x), где функции Р (х), Q (x), R (x) не зависят от х.

Если R (x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.

Если R (x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.

ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.

а у²+ b у¢+ c у=0, где а, b, c – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение а k²+ b k+ c =0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.

· если D >0, то аk ²+ bk + c =0 имеет два различных действительных корня k ₁ и k ₂, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D =0, то аk ²+ bk + c =0 имеет два совпавших действительных корня k ₁= k ₂= k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

· если D <0, то аk ²+ bk + c =0 имеет два различных комплексных корня k _1,2= a ± bi, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

D >0	D =0	D <0
у ″-2 y ′-3 у =0 Составим характеристическое уравнение: k ²-2 k -3=0, которое имеет два различных действительных корня у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} - общее решение, где .	у ″-2 y ′+ у =0 Составим характеристическое уравнение: k ²-2 k +1=0, которое имеет два совпавших действительных корня у = С ₁ е^х + хС ₂ е^х или у = е^х (С ₁+ С ₂ х) - общее решение, где .	у ″+2 y ′+5 у =0 Составим характеристическое уравнение: k ²+2 k +5=0, которое имеет два комплексных корня у = е ^{- х}(С ₁ cos 2 x + С ₂ sin 2 x) - общее решение, где .
у ″+3 y ′-4 у =0	у ″+4 y ′+4 у =0	у ″-2 y ′+10 у =0
у ″+ y ′-6 у =0	у ″-6 y ′+9 у =0	у ″+3 у =0

ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.

а у²+ b у¢+ c у=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.

Его общее решение имеет вид: , где

- общее решение ЛОДУ−II ау² + bу¢ + cу =0;

- частное решение ЛНДУ−II ау² +bу¢+ cу = R (x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.

Правило 1: если правая часть R (x)= Р (х) е^kx, где Р (х) – какой-либо многочлен степени m, и если:

· k – не является корнем характеристического уравнения аk ²+ bk + c =0, то у *= Q (х) е^kx, где Q (х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D >0) аk ²+ bk + c =0, то у *= хQ (х) е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D =0) аk ²+ bk + c =0, то у *= х ² Q (х) е^kx, где Q (х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

Замечание 1: Если множитель Р (х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q (x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).

Замечание 2: Если множитель R (х) –многочлен, то есть k =0, то y * тоже многочлен.

Правило 2: если правая часть R (x)= е^a^x (P ₁(x) cosbx + P ₂(x) sinbx) где P ₁(x) и P ₂(x) –многочлены соответственно степеней m ₁ и m ₂, и если:

· комплексные числа a ± bi – не является корнями характеристического уравнения аk ²+ bk +c=0, то у *= е^a^x (Q ₁(x) cosbx + Q ₂(x) sinbx), где Q ₁(x) и Q ₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m ₁ и m ₂.

· комплексные числа a ± bi – является корнями характеристического уравнения аk ²+ bk +c=0, то у *= хе^a^x (Q ₁(x) cosbx + Q ₂(x) sinbx), где Q ₁(x) и Q ₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m ₁ и m ₂.

Виды многочленов:

Многочлен n -ой степени	А ₀ хⁿ + А ₁ хⁿ ^-1+…+ А_n _-2 х ²+ А_n _-1 х + А_n или Ахⁿ + Вхⁿ ^-1+…+ Uх ²+ Vх + W	Примеры
Многочлен четвёртой степени	Ах ⁴+ Вх ³+ Сх ²+ Dх + E	х ⁴-2 х ³+3 х ²+8, где А =1; В =-2; С =3; D =0; E =8;
Многочлен третьей степени	Ах ³+ Вх ²+ Сх + D	2 х ³- х ²+4 х, где А =2; В =-1; С =4; D =0;
Многочлен второй степени	Ах ²+ Вх + С	-х ²+4 х -3, где А =-1; В =4; С =-3;
Многочлен первой степени	Ах + В	х +8, где А =1; В =8;
Многочлен нулевой степени	А	1, где А =1.

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка и частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям:

k – не является корнем у = Q (х) е^kx*	k – является однократным корнем у = х · Q (х) е^kx*	k – является двукратным корнем у = х ²· Q (х) е^kx*
у ″-2 y ′-3 у =8 е^x, x ₀=0, у ₀=-2, у′ ₀=2. Составим ЛОДУ−II у ″-2 y ′-3 у =0 Характеристическое уравнение: k ²-2 k -3=0 имеет два различных действительных корня `у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} - общее решение ЛОДУ−II, где С ₁= const, С ₂= const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R (x)=8 е^x, (R (x)= Р (х) е^kx) Р (х)=8 – многочлен нулевой степени, k =1 – не является корнем, поэтому ищем решение в виде: у = Ае^x* у ′= Ае^x* у ″= Ае^x* Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II Ае^x -2 Ае^x -3 Ае^x =8 е^x -4 Ае^x =8 е^x А =-2 у = - 2 е^x* - частное решение ЛНДУ−II. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} - 2 е^x − общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что x ₀=0, у ₀=-2, у′ ₀=2. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} - 2 е^x у′ =- С ₁ е ^{- х}+3 С ₂ е ^{3 х} - 2 е^x у = -е ^{- х}+ е ^{3 х} - 2 е^x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.	у ″-2 y ′-3 у =-16 хе^-^x, у (0)=-3, y ¢(0)=1 Составим ЛОДУ−II у ″-2 y ′-3 у =0 Характеристическое уравнение: k ²-2 k -3=0 имеет два различных действительных корня `у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} - общее решение ЛОДУ−II, где С ₁= const, С ₂= const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R (x)=-16 хе ^{- х}, (R (x)= Р (х) е^kx) Р (х)=-16 х – многочлен первой степени, k =-1 – является однократным корнем, поэтому ищем решение в виде: у = х ·(Ах + В) е ^- ^x =(Ах ²+ Вх) е ^- ^x у ′=(- Ах ²+2 Ах - Вх + В) е ^- ^x у ″=(Ах ²-4 Ах + Вх +2 А -2 В) е ^- ^x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II (Ах ²-4 Ах + Вх +2 А -2 В) е ^- ^x -2(- Ах ²+2 Ах - Вх + В) е ^- ^x -3(Ах ²+ Вх) е ^- ^x =-16 хе ^- ^x (-4 Вх +2 А -8 Ах) е ^- ^x =-16 хе ^- ^x А =2, В =1 у =(2 х +1) е^-^x - частное решение ЛНДУ−II. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} + (2 х +1) е^-^x − общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у (0)=-3, y ¢(0)=1. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} + (2 х +1) е^-^x у′ =- С ₁ е ^{- х}+3 С ₂ е ^{3 х} + (-2 х ²+3 х +1) е^-^x у =-3 е ^{- х}- е ^{3 х} + (2 х +1) е^-^x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.	у ″+2 y ′+ у =2 е^-^x, у (0)=2, y ¢(0)=1 Составим ЛОДУ−II у ″+2 y ′+ у =0 Характеристическое уравнение: k ²+2 k +1=0 имеет два совпавших действительных корня `у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ хе ^{- х} - общее решение ЛОДУ−II, где С ₁= const, С ₂= const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R (x)=2 е ^- ^x, (R (x)= Р (х) е^kx) Р (х)=2 – многочлен нулевой степени, k =-1 – является двукратным корнем, поэтому ищем решение в виде: у = Ах ² е ^- ^x у ′= А (- х ²+2 х) е ^- ^x у ″= А (х ²-4 х +2) е ^- ^x Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II А (х ²-4 х +2) е ^- ^x +2 А (- х ²+2 х) е ^- ^x + Ах ² е ^- ^x =8 е ^- ^x 2 Ае ^- ^x =2 е ^- ^x А =1 у = х ² е ^- ^x - частное решение ЛНДУ−II. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ хе ^{- х} + х ² е ^- ^x − общее решение ЛНДУ−II Ищем частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям, что у (0)=2, y ¢(0)=1. у = С ₁ е ^{- х}+ С ₂ хе ^{- х} + х ² е ^- ^x у′ =- С ₁ е ^{- х}+ С ₂ е ^{3 х} -С ₂ хе ^{- х}+2 хе^x - х ² е^x у =2 е ^{- х}+3 хе ^{- х} + х ² е ^- ^x − частное решение ЛНДУ−II, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

a ± bi – не являются корнями у *= е^a^x (Q ₁(x) cosbx + Q ₂(x) sinbx)

a ± bi – являются корнями у *= хе^a^x (Q ₁(x) cosbx + Q ₂(x) sinbx)

у ″+4 у =(9 x -3) sinx Составим ЛОДУ−II у ″+4 у =0 Характеристическое уравнение: k ²+4=0 имеет два различных комплексны корня

`у = С ₁ cos 2 x + С ₂ sin 2 x - общее решение ЛОДУ−II, где С ₁= const, С ₂= const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R (x)=(9 x -3) sinx, (R (x)= е^a^x (P ₁(x) cosbx + P ₂(x) sinbx)) a =0, b =1; Р ₁(х)=0 – многочлен нулевой степени, Р ₂(х)=9 x -3 – многочлен первой степени, a ± bi =± i – не являются корнями, поэтому ищем решение в виде: у *=(Аx + В) cosx+ (Cx + D) sinx у *′=(Сx + А + D) cosx+ (- Аx - B + C) sinx у *″=(- Ax - B +2 C) cosx+ (- Cx -2 A - D) sinx Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II (- Ax - B +2 C) cosx+ (- Cx -2 A - D) sinx + +4(Аx + В) cosx +4(Cx + D) sinx =(9 x -3) sinx (3 B +2 C +3 Ax) cosx+ (-2 A +3 D +3 Cx) sinx = =(9 x -3) sinx

у *=-2 cosx+ (3 x -1) sinx - частное решение ЛНДУ−II. у = С ₁ cos 2 x + С ₂ sin 2 x- 2 cosx+ (3 x -1) sinx − общее решение ЛНДУ−II

у ″+2 y ′+10 у =6 е^-^xсos 3 x Составим ЛОДУ−II у ″+2 y ′+10 у =0 Характеристическое уравнение: k ²+2 k +10=0 имеет два различных комплексны корня

`у = е ^{- х}(С ₁ cos 3 x + С ₂ sin 3 x)- - общее решение ЛОДУ−II, где С ₁= const, С ₂= const. Правая часть ЛНДУ−II имеет вид: R (x)= е^-xсos 3 x, (R (x)= е^a^x (P ₁(x) cosbx + P ₂(x) sinbx)) a =-1, b =3; Р ₁(х)=6 – многочлен нулевой степени, Р ₂(х)=0 – многочлен нулевой степени, a ± bi =-1±3 i – являются корнями, поэтому ищем решение в виде: у *= хе ^- ^x (Acos 3 x + Bsin 3 x)= е ^- ^x (Aхcos 3 x + Bхsin 3 x) у *′= е ^{- x}((A-Аx +3 Bx) cosx+ (B -3 Аx - Bx) sinx) у *″= е ^{- x}((-2 A +6 B - 8Аx -6 Bx) cosx+ (-6 A -2 B +6 Аx -8 Bx) sinx) Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II е ^{- x}((-2 A +6 B - 8Аx -6 Bx) cosx+ +(-6 A -2 B +6 Аx -8 Bx) sinx)+ +2 е ^{- x}((A-Аx +3 Bx) cosx+ (B -3 Аx - Bx) sinx)+ +10 е ^{- x}(Aхcos 3 x + Bхsin 3 x)=6 е^-xсos 3 x е ^{- x}(6Bcos 3 x- 6 Asin 3 x)=6 е^-xсos 3 x