2015-10-22
270Лекция 8. Понятие евклидова пространства
Основные понятия:
евклидово пространство; 
–мерный вектор; неравенство Коши-Буняковского; коллинеарные векторы; неколлинеарные векторы; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; линейная комбинация векторов; линейно зависимые векторы; линейно независимые векторы; размерность линейного пространства; базис векторного пространства.
N-мерные векторы
Декартово произведение множества действительных чисел 
само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают 
и его можно отождествить с плоскостью. Множество 
состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства 
. Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде 
. Число 
называется первой координатой -мерного вектора 
, 
– второй координатой и т.д., а число – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и 
через операции над их координатами.
В общем случае и – это –мерные векторы, т.е. 
, и 
. Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. 
. Длиной –мерного вектора называется число 
. Скалярное произведение 
называется скалярным квадратом вектора и обозначается 
. Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем 
тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор – нулевой.
Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.
Теорема. Если и – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:
Доказательство: Рассмотрим вектор 
, где 
– любое действительное число. Поскольку 
, то на основании свойств скалярного произведения можно записать:
Если предположить, что 
, то справедливо следующее:
Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения:
.
Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно:
.
Теорема. Ненулевые –мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.
Доказательство:
Необходимость:
Достаточность:
Пусть 
и 
Коллинеарные векторы
Два ненулевых -мерных вектора и называются коллинеарными, если угол между ними равен 
или 
.
Если , то коллинеарные векторы называются сонаправленными или одинаково направленными 
.
Если 
, то коллинеарные векторы называются противоположно направленными 
.
Если условие коллинеарности между векторами и не выполняется (т.е. 
), то такие вектора называются неколлинеарными.
Теорема. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое ненулевое число 
, что 
.
Доказательство:
Необходимость:
1. 
.
2. . Для этого случая аналогично доказывается, что 
, при 
.
Достаточность:
Число 
имеет только два значения: 
. Это означает, что или , соответственно. Таким образом, вектора и коллинеарны.
