Какое из следующих выражений есть уравнение директрисы параболы?

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 10

Что является характеристическим уравнением матрицы ?

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 11

Даны матрицы и . Тогда матрица В, будет обратной к А при λ, равном.

1)	−1;
2)	0;
3)	−3/2;
4)	1.

Вопрос 12

Даны прямые: . Тогда перпендикулярными являются прямые

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 13

Даны матрицы и . Тогда матрица С = А−2В имеет вид:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 14

Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид:

1)	;
2)	;
3)	;
4)	.

Вопрос 15

Вычислите значение определителя:

1)	62;
2)	64;
3)	0;
4)	– 44.

Вопрос 16

Если точка является решением системы линейных уравнений, то

1)	;
2)	;
3)	3;
4)	.

Глоссарий

Алгебраическим дополнением элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j :

.

Бесконечно малые величины. Функция a(х) называется бесконечно малой величиной при х ® х₀ или при х ® ¥, если её предел равен нулю:

Бесконечным рядом (рядом) называется выражение вида ,где – члены ряда;

- n-ый или общий член ряда, если члены ряда:

· числа, то ряд называется числовым;

· числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

· числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

· положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

· функции, то ряд называется функциональным;

· степени x, то ряд называется степенным;

· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

Вектор A_m называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,..,A_m-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.

Векторы A₁,A₂,..A_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁ + λ₂A₂ + … + λ_m A_m =0.

В противном случае векторы A₁,A₂,..A_m называются линейно независимыми.

Вектор Х, не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ.

Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х.

Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная ± 2а.

Графиком функции у = f(х) называется совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции.

Замечательные пределы. Существуют два замечательных предела:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: y '' + py ' + gy = r (x), где p, g некоторые действительные числа, r (x) – некоторая функция. Если r (x)=0, то уравнение называется однородным, в противном случае − неоднородным.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Матрица называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля, в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы а_ij, у которых i=j, называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. Например, для квадратной матрицы n-го порядка главная диагональ: а₁₁, а₂₂, а₃₃…а_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной.

Единичной называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –й строки и j-го столбца.

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: .Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Непрерывность функции. Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х₀ (т.е. существует ¦(х₀)); 2) имеет конечный предел функции при х ® х₀; 3) этот предел равен значению функции в этой точке, т. е.

Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Общим решением дифференциального уравнения (1) n -го порядка называется такое его решение у = φ (х, С₁,… С_n), которое является функцией переменной х и произвольных постоянных C₁,C₂,…C_n.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, переменную и производные различных порядков данной функции. В общем случае дифференциальное уравнение можно записать так:

G(x, y, y ',…, y ⁽ⁿ⁾)=0, (1)

где G – некоторая функция от n +2 переменных (n >0), при этом n – порядок старшей производной, входящей в запись, называется порядком дифференциального уравнения.

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

Обозначается Δ₁ = а₁₁, или│А│= а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле

Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂ а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Предел числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности { а_n }, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство| а_n – А |<e.

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:

А - e< а_n < А + e.

Предел числовой последовательности обозначается:

.

Предел функции в точке. Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящемся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию | х- х₀ | < d, верно неравенство | f(x)– А | < e.

Этот предел функции обозначается:

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю. Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера: , где j=1,…n.

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Теорема. Если функция a(х) является бесконечно малой величиной при х ® х₀ или при х ® ¥, то функция f (x)=1/a(х) есть величина бесконечно большая при х ® х₀ или при х ® ¥. И обратно, если функция f (x) есть величина бесконечно большая при х ® х₀ или при х ® ¥, то функция a(х) = 1/ f (x) является бесконечно малой величиной при х ® х₀ или при х ® ¥.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна в интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) в этом интервале, т. е. Это и есть формула Ньютона-Лейбница.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции ¦(х), если эта функция не является непрерывной.

Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х₀, не равные друг другу) и

второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

К точкам разрыва первого рода относят также точки устранимого разрыва, когда предел функции при х ® х₀ существует, но не равен значению функции в этой точке.

Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х).

Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х).

Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(х+Т) = f(х).

Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f( - х)= f(х),и нечетной, если f( - х) = - f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C₁,C₂,…C_n.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2а.

Учебное издание