Производные высших порядков

Поскольку производная функции сама является функцией, она тоже может иметь производную. Понятие производной, которое было рассмотрено выше, относится к производной первого порядка.

Производной n-го порядка называется производная от производной
(n - 1)-го порядка. Например, f ``(x) = (f `(x))` - производная второго порядка (или вторая производная), f ```(x) = (f ``(x))` - производная третьего порядка (или третья производная) и т.д. Иногда для обозначения производных более высокого порядка используются или римские арабские цифры в скобках, например, f⁽⁵⁾(x) или f⁽^V)(x) для производной пятого порядка.

Физический смысл производных высших порядков определяется так же, как и для первой производной: каждая из них представляет собой скорость изменения производной предыдущего порядка. Например, вторая производная представляет собой скорость изменения первой, т.е. скорость скорости. Для прямолинейного движения она означает ускорение точки в момент времени.

Эластичность функции

Эластичностью функции Е_х(у)называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению аргумента х при последнем, стремящемся к нулю: .

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у = f(x) при изменении независимой переменной х на 1%.

В экономическом смысле отличие этого показателя от производной в том, что производная имеет единицы измерения, и поэтому ее величина зависит от того, в каких единицах измеряются переменные. Например, если зависимость объема производства от времени выражается соответственно в тоннах и месяцах, то производная будет показывать предельное увеличения объема в тоннах за месяц; если же измерять эти показатели, допустим, в килограммах и днях, то и сама функция, и ее производная будут другими. Эластичность же является по сути своей величиной безразмерной (измеряется в процентах или долях) и поэтому не зависит от масштаба показателей.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рисунок 3.3).

Теорема Ролля. Пусть функция у = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале ]а, b[;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс (например, на рисунке 3.4 таких точек две).

Если f(a) = f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать по-другому: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция у = f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале (а, b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка с, в кдторой производная равна частному от деления приращения функций на приращение аргумента на этом отрезке: .

Без доказательства.

Чтобы понять физический смысл теоремы Лагранжа, отметим, что есть не что иное, как средняя скорость изменения функции на всем отрезке [а, b]. Таким образом, теорема утверждает, что внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой "мгновенная" скорость изменения функции равна средней скорости ее изменения на всем отрезке.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа проиллюстрирован рисунком 3.5. Отметим, что выражение представляет собой угловой коэффициент прямой, на которой лежит хорда АВ. Теорема утверждает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к нему будет параллельна этой хорде (т.е. угловой коэффициент касательной – производная – будет таким же).

Следствие: если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

В самом деле, возьмем на этом промежутке [a, b] промежуток [a, x]. По теореме Лагранжа в этом промежутке найдется точка с, для которой . Отсюда f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Иными словами, если имеется неопределенность вида , то .

Без доказательства.

Применение правила Лопиталя для нахождения пределов будет рассмотрено на практических занятиях.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Рассмотрим два значения х₁ и х₂ из данного промежутка (пусть х₂ > х₁). По теореме Лагранда на [х₁, х₂] существует точка с, в которой . Отсюда f(х₂) – f(x₁) = f `(с)(х₂ – x₁). Тогда при f `(с) > 0 левая часть неравенства положительна, т.е. f(х₂) > f(x₁), и функция является возрастающей. При f `(с) < 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е. f(х₂) < f(x₁), и функция является убывающей

Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции: если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает, а если под тупыми, то убывает (см. рисунок 3.6).

Замечание: необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке (т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю).

Экстремумы функции

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) (f(х) ≥ f(х₀)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом или минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают с глобальным максимумом или минимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f `(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производная f `(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f ``(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках локального экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f `(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производная
f `(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Выпуклость функции

Функция у = f(х) называется выпуклой вниз (вверх)[1] на промежутке Х если для любых двух значений х₁, х₂ Î Х из этого промежутка выполняется неравенство .

Графический смысл выпуклости функции проиллюстрирован рисунком 3.7. В самом деле, в левых частях формул, определяющих выпуклость, находится значение функции в середине отрезка [х₁, х₂]. В правых частях находится ордината середины отрезка, соединяющего точки (х₁, f(х₁)) и (х₂, f(х₂)) на графике функции. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, а если она выпукла вверх, то под графиком функции.

Можно доказать, что функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на соответствующем промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрически это означает, что если f `(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к ее графику (см. рисунок 3.8).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Доказательство этой теоремы основано на том, что если вторая производная положительна (отрицательна), то первая возрастает (убывает), что говорит о выпуклости функции вниз (вверх).

Заметим, что необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке, то ее вторая производная неположительна (неотрицательна), т.е. может и равняться нулю.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, на которых функция выпукла вниз и вверх.

Из сформулированных выше теорем следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают теоремы об условиях перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточное условие перегиба[2]. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то это точка перегиба ее графика.

Геометрическая интерпретация точки перегиба приведена на
рисунке 3.9. В окрестности точки х₁ функция выпукла вверх, и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х₂ функция выпукла вниз, и график лежит выше касательной. В точке же перегиба х₀ график лежит по разные стороны касательной.