Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера

Пусть n = 2:

Если обе части первого уравнения умножить на a₂₂, а обе части второго – на (-a₁₂), и затем сложить полученные уравнения, то мы исключим из системы переменную x₂. Аналогично можно исключить переменную x₁ (умножив обе части первого уравнения на (-a₂₁), а обе части второго – на a₁₁). В результате получим систему:

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначим

Тогда система примет вид:

Из полученной системы следует, что если определитель системы
D ¹ 0, то система будет совместной и определенной. Ее единственное решение можно вычислить по формулам:

Если D = 0, а D₁ ¹ 0 и/или D₂ ¹ 0, то уравнения системы примут вид 0*х₁ = D₂ и/или0*х₁ = D₂. В этом случае система будет несовместной.

В случае, когда D = D₁ = D₂ = 0, система будет совместной и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), так как примет вид:

Теорема Крамера (доказательство опустим). Если определитель матрицы системы n уравнений D не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

,

где D_j - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Вышеприведенные формулы называют формулами Крамера.

В качестве примера решим этим методом систему, которую до этого решали методом обратной матрицы:

Недостатки рассмотренных методов:

1) существенная трудоемкость (вычисление определителей и нахождение обратной матрицы);

2) ограниченная область применения (для систем с квадратной матрицей).

Реальных экономические ситуации чаще моделируются системами, в которых число уравнений и переменных довольно значительное, причем уравнений больше, чем переменных Поэтому на практике более распространен следующий метод.