2015-10-22
272
постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения вида 
или, короче, 
будем искать в виде 
, где k = const.
Т.к. 
то
При этом многочлен 
называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т.е. 
Т.к. ekx ¹ 0, то 
- это уравнение называется характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение 
имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
|
|
|
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней 
характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:
и 
.
г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2 m решений:
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить уравнение 
.
Составим характеристическое уравнение: 
Общее решение имеет вид: 
Пример. Решить уравнение 
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.
Таким частным решением будет являться функция 
Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
Общее решение имеет вид: 
Окончательно: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение: 
Пример. Решить уравнение 
Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.
|
|
|
Понизим порядок уравнения с помощью подстановки 
Тогда 
Окончательно получаем: 
Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.
Пример. Решить уравнение 
Производим замену переменной: 
Общее решение: 
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где 
- многочлен степени m.
Тогда частное решение ищется в виде:
Здесь Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение 
.
Решим соответствующее однородное уравнение: 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Частное решение ищем в виде: , где 
Т.е. 
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m 1 и m2 соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число 
является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m - большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид: 
, то частное решение этого уравнения будет 
где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений
и 
Пример. Решить уравнение 
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (- sin x).
Составим и решим характеристическое уравнение: 
1. Для функции f1 (x) решение ищем в виде 
.
Получаем: 
Т.е. 
Итого: 
2. Для функции f2 (x) решение ищем в виде: 
.
Анализируя функцию f2 (x), получаем: 
Таким образом, 
Итого: 
Т.е. искомое частное решение имеет вид: 
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение 
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения: 
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид: 
Общее решение линейного неоднородного уравнения: 
Пример. Решить уравнение 
Характеристическое уравнение: 
Общее решение однородного уравнения: 
Частное решение неоднородного уравнения: .
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
