Визначники. Матриці. Продуктивні моделі Леонтьєва

1. Визначники та їх властивості. Література: [10], розд. І, §1, стор. 7-10.

2. Мінор. Алгебраїчне доповнення елемента визначника. Література: [10], розд. І, §2, стор. 11-12.

3. Матриці, дії над матрицями. Застосування матриць в економіці. Література: [10], розд. І, §4, стор. 19-22, §10, стор. 39-50, прикл. 1.15-1.18.

Визначення. Матриця – це прямокутна таблиця, яка складається з m рядків та n стовпців

, (1.1)

де (m, n) – визначають розмір матриці А.

Підсумовувати можна матриці А та В, якщо вони однакових розмірів, тобто

A ₍ _m _, _n ₎ + B ₍ _m _, _n ₎ = C ₍ _m _, _n ₎, (1.2)

причому c_ij = a_ij + b_ij, , .

Добуток l A матриці A на число l дорівнює матриці В, елементи якої дорівнюють добуткам кожного елемента матриці А на число l, тобто

b_ij = l a_ij, , . (1.3)

Добуток матриць А та В існує тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В, тобто

, (1.4)

причому розмірність матриці С дорівнює числу рядків матриці А та числу стовпців матриці В.

Приклад №1 Виконати розрахунок заробітної платні, яка нараховується на кожне замовлення при виготовленні різних деталей, якщо відомі такі дані:

а) затрати робочого часу на кожну деталь для кожного робочого місця, тобто, щоб виготовити деталь А, потрібно на І-му робочому місці витратити 2 години, на ІІ-му – 1 годину і т.д. Аналогічно дані витрати для виготовлення деталей В та С (табл. 1.1).

Таблиця 1.1

Деталі	Витрати часу на робочому місці
І	ІІ	ІІІ	IV	V
А
В
С

б) кількість деталей в кожному замовленні (шт.):

Таблиця 1.2

Замовлення	Кількість деталей
А	В	С
K
L
M

в) погодинна заробітна платня (грн) на кожному робочому місці:

Таблиця 1.3

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV	V
Погодинна заробітна платня	1,25	1,5	1,4	1,4	1,25

Розв’язання. Запишемо в матричній формі вихідні дані:

а) витрати робочого часу на кожну деталь ;

б) кількість необхідних деталей в кожному замовленні: ;

в) погодинна заробітна платня P = (1,25 1,5 1,4 1,4 1,25).

Оскільки відомі витрати робочого часу на кожну деталь і вартість однієї робочої години для кожного робочого місця, то знайдемо заробітну платню, що складається для виготовлення кожної деталі. Для цього попередньо транспонуємо матрицю Р для того, щоб матриці можна було перемножити:

Оскільки матриця визначає кількість деталей в кожному замовленні, то добуток визначає величину заробітної платні, яка нараховується при виконанні кожного замовлення:

Відповідь. Заробітна платня, що нараховується при виконанні замовлення K, складає 99,6 грн., замовлення L – 81,9 грн., замовлення M – 102,55 грн.

Завдання №1

Виконати розрахунок заробітної платні, що нараховується при виконанні кожного замовлення при виробництві різних виробів, якщо відомо: а) витрати робочого часу на кожному з робочих місць; б) кількість виробів у кожного замовлення (шт.); в) погодинна заробітна платня (грн.).

1. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ	IV	V		А	В	С	D
А	0,5			1,5			K
В					0,5		L
С		0,5					M
D	0,5		1,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV	V
Погодинна заробітна платня	1,2	1,1		1,3	1,4

2. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ	IV		А	В	С
А		0,5				K
В			1,5			L
С	0,5			0,5		M
						N

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV
Погодинна заробітна платня	1,1	1,3	1,4	1,2

3. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ		А	В	С	D
А					K
В	0,5		1,5		L
С		0,5			M
D	1,5		0,5		N

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ
Погодинна заробітна платня	1,5	1,4	1,2

4. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ		А	В	С	D	E
А			1,5		K
В		1,5			L
С	0,5	0,5			M
D	1,5	1,5			N
E			0,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ
Погодинна заробітна платня	1,25	1,2	1,3

5. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ	IV		А	В	С	D	E
А	1,5			0,5		K
В			0,5	0,5		L
С		0,5	0,5			M
D
E	0,5	1,5		1,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV
Погодинна заробітна платня	1,2	1,1	1,25	1,1

6. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ	IV	V		А	В	С
А	0,5		1,5				K
В				1,5	0,5		L
С		1,5	0,5		1,5		M
							N

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV	V
Погодинна заробітна платня	1,25	1,1	1,2	1,4	1,1

7. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ	IV		А	В	С	D
А			0,5			K
В	1,5	0,5		1,5		L
С	0,5	1,5				M
D				0,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV
Погодинна заробітна платня	1,1	1,2	1,1	1,5

8. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ		А	В	С	D	E
А	1,5				K
В					L
С	1,5	1,5			M
D		1,5	1,5
E	0,5		0,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ
Погодинна заробітна платня	1,25	1,2	1,1

9. а) б)

Вироби	Витрати часу на робочому місці		Замовлення	Кількість виробів
І	ІІ	ІІІ		А	В	С
А	0,5	0,5	1,5		K
В					L
С	1,5				M
					N
					P

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ
Погодинна заробітна платня	1,4	1,2	1,25

10. а) б)

Вироби

Витрати часу на робочому місці

Замовлення

Кількість виробів

ІІ

ІІІ

0,5

1,5

0,5

1,5

0,5

1,5

0,5

в)

Робоче місце	І	ІІ	ІІІ	ІV	V
Погодинна заробітна платня	1,2	1,4	1,25	1,3	1,4

§2 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Методи їх дослідження та розв’язання.
Математичне моделювання економічних задач.

5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Формули Крамера. Література: [10], розд. І, §3, стор. 12-18.

6. Матричний запис СЛАР та її розв’язання. Література: [10], розд. І, §5-9, стор. 26-39, прикл. 1.7-1.14.

Нехай дана сумісна система n лінійних рівнянь з n невідомими:

. (1.8)

Введемо позначення у вигляді матриць:

, , ,

тоді систему (1.8) можна записати у матричній формі:

AX = B. (1.9)

Основні методи розв’язання СЛАР:

1. Правило Крамера

– якщо у системі (1.8) D = detA ¹ 0, то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами , , де D _i – визначник, одержаний з визначника D заміною і -го стовпця на стовпець вільних членів;

– якщо в системі (1.8) D = 0, але хоча б один з визначників D _i не дорівнює нулю, то система не має розв’язків, тобто несумісна;

– якщо у системі (1.8) D = 0 і усі допоміжні визначники D _i дорівнюють нулю, тобто D _i = 0, то система сумісна і має незчисленну множину розв’язків.

2. Матричний метод (метод зворотної матриці).

Помножуючи обидві частини рівняння (1.9) на матрицю А ^–1 і враховуючи, що А ^–1 × А = Е, ЕХ = Х, то одержуємо шуканий розв’язок:

Х = А ^–1 × В. (1.10)

Зауваження. Методом зворотної матриці можна розв’язувати тільки у тому випадку, якщо матриця А – невироджена, тобто якщо D ¹ 0.

3. Метод Жордана-Гаусса.

Записавши розширену матрицю з (1.8), за допомогою елементарних перетворень її необхідно привести до трикутного вигляду:

, (1.11)

де і – перетворені числа.

Одержана матриця є розширеною матрицею системи:

(1.12)

Розв’язання системи (1.12) має вигляд:

Таким чином, розв’язок знаходимо з (1.12) послідовно знизу нагору, тобто з останнього рівняння відомо , його підставляємо в передостаннє рівняння і знаходимо тощо. Одержаний розв’язок є також розв’язком вихідної системи (1.8).

Розглянемо економічну задачу на складання математичної моделі. Одержану систему лінійних алгебраїчних рівнянь розв’яжемо трьома методами.

Приклад №3 Добовий раціон годування тварин складається з трьох видів кормів. Один кілограм корму І-го типу коштує 5 грн і містить 1 од. жирів, 2 од. білків та 3 од. вуглеводів. Один кілограм ІІ-го типу коштує 3 грн і містить 2 од. жирів, 3 од. білків та 1 од. вуглеводів. Один кілограм корму ІІІ-го типу коштує 6 грн і містить 3 од. жирів, 4 од. білків та 3 од. вуглеводів. Скільки кг корму кожного типу необхідно купувати щоденно, щоб тварини одержували жирів – 17 од., білків – 26 од. і 19 од. вуглеводів. Знайти вартість щоденного годування тварин.

Розв’язання. Оскільки необхідно визначити кількість кг корму кожного типу, то введемо позначення: x ₁ – кількість корму І-го типу в кг, x ₂ – кількість корму ІІ-го типу в кг і x ₃ – кількість корму ІІІ-го типу в кг. За умовою задачі жирів повинно бути 17 од., тоді, враховуючи кількість жирів в 1 кг корму кожного типу, можна записати: x ₁ + 2 x ₂ + 3 x ₃ = 17. Аналогічно одержуємо рівняння для білків та вуглеводів: 2 x ₁ + 3 x ₂ + 4 x ₃ = 26 і 3 x ₁ + x ₂ + 3 x ₃ = 19. А вартість корму буде складати 5 х ₁ + 3 х ₂ + 6 х ₃ (грн.). Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

. (1.13)

Розглянемо розв’язання системи трьома методами.

Метод Крамера

Обчислимо головний визначник

Оскільки , то система має єдиний розв’язок. Знайдемо допоміжні визначники, замінюючи відповідні стовпці вільними членами системи:

; ; .

Тоді , і . Таким чином, корму І-го типу необхідно 3 кг, ІІ-го типу – 4 кг і ІІІ-го типу – 2 кг. При цьому вартість годування буде 5×3 + 3×4 + 6×2 =39 (грн.).