Линейные неравенства и их системы

Образовательный минимум по алгебре за I четверть.

Теоретическая часть

Алгебраические дроби

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби: , где b, d ≠ 0.

Сокращение

Приведение к общему знаменателю

Сравнение

Сложение (вычитание)

Сложение (вычитание)	Умножение	Деление	Степень
			,

Неравенства

Основные свойства чисел	Основные свойства числовых неравенств
	Теорема 1.Если а > b и b > c, то а > с.
Теорема 2.Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Пр. если а > b, то а – 5 > b – 5.
Теорема 3.Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Пр. если а > b, то 5∙a > 5∙b; если а > b, то -5∙a < - 5∙b.
Теорема 4.При сложении неравенства одинакового знака получается неравенства того же знака: если а > b и с > d,то а + c > b + d.
Теорема 5.При умножении неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: еслиа >b и с > d (a, b, c, d положительные числа), то ас > bd.

Решение неравенств

Решить неравенство означает найти все его значения или установить, что их нет.

Линейные неравенства и их системы.

В целом линейные неравенства решаются аналогично тому, как решаются линейные уравнения, однако существуют и различия:

1) если при неизвестном х стоит отрицательный коэффициент, то при переносе его в другую часть неравенства знак неравенства нужно поменять на противоположный (см. теорему 3);

2) решением неравенства обычно является не одно число, а числовой промежуток;

3) Для решения системы, состоящей из двух линейных неравенств, следует:

а) решить каждое неравенство в отдельности;

б) обозначить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;

в) в ответ записать их пересечение.

Пр: - 3(х + 2) ≤ 6х, х + 2 ≥ -2х, х + 2х ≥ -2, 3х ≥ -2, х ≥ . Ответ: х

Практическая часть

1. Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

2. Выполните сложение и вычитание дробей: а) ; б) ; в) .

3. Выполните умножение и деление дробей: а) ; б) .

4. Выполните действия:

а) Прибавьте к обеим частям неравенства 2а + 3b > а – 2b одно и то же число: а) -3; б) 2b.

б) Умножьте обе части неравенства 4 а > 3 на одно и тоже число: а) ; б) -3.

в) Разделите обе части неравенства -25 х < -30 на одно и тоже число: а) 2; б) -5.

5. Пусть а < b. Сравните: а) - 4,2а и - 4,2b; б) и ; в) и ;

6. Выполните: а) сложение неравенств: а) 5 > - 8 и 8 > 5; б) 3х + у < 2х + 1 и 3у – 2х < 14 – 2а.

б) умножение неравенств: а) < и 4 < 6; б) х – 2 > 1 и 5 > х +3.

7.На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа a и b. В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний яв­ля­ет­ся вер­ным?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. С помощью графика функции найти, при каких значениях х значения функции положительны, отрицательны, больше 1, меньше 1: а) у = 2х +4; б) у = - 3х +6.

9. Решить неравенства: а) х + 2 ≥ 15; б) х – 6 < 8; в) - 4 > 5 – у; г) 2х + 4 ≤ 0; д) 3(х – 2) + х < 4х + 1;

е) ; ж) ; з) При каких зна­че­ни­ях a вы­ра­же­ние 5 a + 9 при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния? 1) ; 2) ; 3) ; 4)

10. Решите системы неравенств:

а) На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

б) На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

11. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров.