VII. Примеры для самостоятельного решения (8 мин.)

На рабочем столе компьютера.

Папка: “Производная сложной функции”. Документ: “Самостоятельная работа”.

1. у = (х² – 3х + 1)³ – 1-я группа.

2. у = (1 + х – 2х²)¹⁰ – 1-я группа.

3. У = ( + 2)² – 2-я группа.

4. У = (2 – )² – 2-я группа.

Проверка.

1. у' = (6х – 9)(х² – 3х + 1).

2. у' = (10 – 40х)(1 + х – 2х²⁾.

3. у' = 1 +

4. у' = 1 –

Сложная функция

Сложная функция –функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z (y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у (х), то функция f (x) = z (y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х. В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z (y). Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу: . Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f 1(y 1), y 1 = f 2(y 2), …, yn -1 = fn (x), то

Сложная функция

функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = φ(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения φ(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, то у = sin² х для всех значений х. Если же, например, у = , u = sin x, то у = причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ≥ 0, то есть для , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: еслиу = f (u₁), u₁ = φ(u₂),..., u_k-1 = φ_k-1(u_k), u_k = φ_k (x), то