Сложная функция.
Рассмотрим функцию, заданную формулой f(x) =
Для того, чтобы найти производную данной функции, надо сначала вычислить производную внутренней функции u = v(x) = xІ + 7x + 5, а затем вычисляют производную функции g(u) = .
Говорят, что функция f(x) – есть сложная функция, составленная из функций g и v, и пишут:
f(x) = g(v(x)).
Область определения сложной функции – множество всех тех х из области определения функции v, для которых v(x) входит в область определения функции g.
ТЕОРЕМА.
Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U, а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х, вычисляемую по формуле
y'x = y'u • u'x.
Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u, умноженной на производную u по x.
Формулу записывают ещё так:
f' (x) = g' (u) v' (x).
Доказательство.
В точке х Х зададим приращение аргумента , (х+ х) Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение , а функция y = g(u) получит приращение D y. Надо учесть, что, так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и при .
При условии, что , имеем
получим
то есть формулу y' x = y' u · u'x.
VI. Закрепление изученного материала (12 мин.).
Применим полученную формулу для решения задач.
Пример 1.
Найти производную функции у = (1+х2)100.
Решение.
Пример 2 и Пример 3 из учебника (устно разобрать решение).
Решение примеров № 304, № 305, № 306 с последующей проверкой по компьютеру.