Перестановки с повторениями

Всякое размещение с повторениями, в котором элемент повторяется раз, элемент повторяется раз и т.д. элемент повторяется раз, где , , , — данные числа, называется перестановкой с повторениями порядка

в которой данные элементы повторяются соответственно , , раз.

Теорема. Число различных перестановок с повторениями из элементов , в которых элементы повторяются соответственно раз, равно

Доказательство. Если мы будем считать все элементов перестановки с повторениями различными, то всего различных вариантов перестановок элементов — . Однако среди этих перестановок не все различны. В самом деле, все элементы мы можем переставлять местами друг с другом, и от этого перестановка не изменится. Точно так же, можем переставлять элементы , , , . Таким образом, всякая перестановка может быть записана способами. Следовательно, число различных перестановок с повторениями равно

Задача. Дано различных предметов. Сколькими способами можно разбить эти предметы на 3 группы так, чтобы первая группа содержала предметов, вторая предметов, а третья предметов?