Взаимное расположение геометрических элементов. Основные позиционные задачи

Определение позиционных задач

Метод конкурирующих точек

Прямая и точка

Взаимные положения прямых

Прямая и точка на плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости

Определение позиционных задач

Позиционными задачами называются такие задачи, в которых определяется взаимное расположение различных объектов и элементов геометрических фигур относительно друг друга.

Метод конкурирующих точек

Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометрических фигур.

Конкурирующими точками называются такие точки пространства, которые имеют одинаковые координаты в плоскости проекций.

На рис. 3.1 показаны конкурирующие точки А и В (совпадают горизонтальные проекции А₁ ≡ В₁) и C и D (совпадают фронтальные проекции С₂ ≡ D₂).

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек (фигур) по координатам их несовпадающих проекций. Точка В находится выше точки А относительно плоскости π₁ (Z_B>Z_A), поэтому на плоскости π₁видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу S).

На плоскости π₂ видна точка D, так как она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π₂, Y_D>Y_C) и закрывает невидимую точку С.

Методом конкурирующих точек пользуются при определении видимости элементов пересекающихся геометрических фигур.

Прямая и точка

Из инвариантного свойства 3 параллельного проецирования следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃) принадлежащие прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой, т. е. если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.

Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К₁, К₂ и К₃), принадлежащие прямой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ (рис. 3.2).

Рис. 3.1. Конкурирующие точки

Точки А и В, принадлежащие прямой а, и точки C, D и E, которые лежат вне этой прямой показаны на рис. 3.3.