Найти точки пересечения прямой общего положения с поверхностью

(задачи 8,9,10)

План:

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость;

2. Построить линию пересечения этой плоскости с поверхностью;

3. Точки, которые являются общими для полученной линии пересечения и исходной прямой, - искомые;

4. Определяется видимость.

Задача №8

Найти точки пересечения наклонной призмы с прямой (рис.28).

1.

Р2

Заключим прямую во фронтально-проецирующую плоскость

lÎP^П_2.

2. Поскольку фронтальная проекция Р₂ плоскости Р, в которую заключена прямая l, совпадает с её фронтальной проекцией l₂, то фронтальные проекции точек пересечения ребер призмы

А₁А₂¢Çl₂=1₂; B₁B₂¢Çl₂=2₂; C₁C₂¢Çl₂=3₂

определяются в их пересечении с фронтальным следом плоскости Р₂.

Горизонтальная проекция сечения 1₁2₁3₁ находится с помощью линии

Рис. 28

связи.

3. Пересечением 1₁2₁3₁ с горизонтальной проекцией прямой l₁ отмечаются точки М₁ и N₁ - горизонтальные проекции точки пересечения прямой с призмой, затем строятся их фронтальные проекции M₂, N₂.

4. Определяют видимость.

Проекция точки (×)M₁ лежит на видимой части сечения ® М₁ - видима, проекция l₁ до М₁ - видима, между М₁ и N₁ - невидимы. Проекция N₁ лежит на невидимой части сечения ® N₁ - невидима и l₁ до ребра С₁С₁¢ - невидима.

Рассмотрим видимость точек на плоскости П₂.

Так как грань А₂А₂¢В₂В₂¢ видима ® (×) М₂, принадлежащая этой грани - видима. Грань А₂А₂¢С₂С₂¢ - невидима ® (×)N₂ - принадлежащая этой грани - невидима. l₂ - до М₂ - видима, между М₂ и N₂ - невидима, от N₂ - С₂С₂¢ - невидима.

Задача №9

Определить точки пересечения прямой с конусом

(рис.29)

Рис.29

Заключить прямую в плоскость, проходящую через вершину конуса. Для этого соединим две произвольные точки прямой А и В с вершиной S (рис.29).

Найти линию сечения её с плоскостью основания конуса (точки С и D), тогда в точках Е и F пересечения прямой CD с окружностью основания конуса начнутся образующие SE и SF, по которым вспомогательная плоскость рассечет поверхность. Пересечение прямой АВ в точках М и N с образующими SE и SF определяет точки пересечения прямой с поверхностью конуса.

Задача №10

Найти точки пересечения со сферой (рис.30).

Заключим прямую l во фронтально проецирующую плоскость: lÌQ^П₂. В сечении сферы этой плоскостью получится окружность, которая на плоскость П₂ проецируется в отрезок 1₂8₂, а на плоскость П₁ в эллипс.

Для определения точек, принадлежащих этому эллипсу, сфера и вспомогательная плоскость Q рассекаются горизонтальными плоскостями - посредниками (a, b). Чем больше таких плоскостей, тем точнее будут построения. Проводить их следует на участке между наивысшей (1) и наинизшей (8) точками, лежащими на главном меридиане. Эти точки называются опорными. К опорным также относятся точки 4 и 5, лежащие на экваторе.

Каждая из плоскостей - посредников рассекает сферу по окружности соответствующего радиуса r_a, r_b. Эти окружности на плоскость П₁ проецируются в окружности. Горизонтальные проекции точек линии сечения (1₁, 2₁, 3_1, ..., 8₁) лежат на окружностях соответствующих радиусов.

P2 Рис.30

Соединяем их с учетом видимости. Проекция прямой l1 пересекает сечение в точках М1 и N1. Точки M и N – искомые. Последний этап – определение видимости. На горизонтальной проекции видны те точки (11; 21; 31; 41; 51), фронтальная проекция которых расположена выше экватора, а проекции точек 61, 71, 81 - невидимы.M1 - видима, N1 - невидима. На фронтальной проекции видны те точки, горизонтальная проекция которых расположена ниже главного меридиана: N2 - видима, M2 - невидима. Между точками пересечения прямая всегда невидима.

Задача №11

Найти линию пересечения плоскости общего положения с пирамидой (рис.31).

План:

1. На поверхности выделить простейший линейчатый каркас;

2. Для каждой линии каркаса найти точки пересечения их с плоскостью (см. задачу №3);

3. Полученные точки соединить с учетом видимости.

Если поверхность гранная (пирамида, призма), то задача на определение линии пересечения сводится к нахождению точки пересечения ребер поверхности с секущей плоскостью. Например, найдем точку пересечения ребра SA с плоскостью a(m||n).

SAÌP^П₂ ; aÇP=1,2 (1₂,2₂®1₁,2₁); ASÇ12=M(M₁,M₂).

Аналогично находим точки пересечения ребер:

SBÇa=N(N₁®N₂)

SCÇa=L(L₁®L₂)

Соединить точки с учетом видимости ®DMLN.

Рис. 31