Пересечение поверхностей

Для построения линии пересечения поверхностей следует использовать вспомогательные плоскости, как правило, плоскости уровня, которые рассекают исходные поверхности по простейшим сечениям (окружности, прямые линии). Общие точки этих сечений, принадлежат линии пересечения поверхностей. Набирая достаточное количество точек, соединяют их с учетом видимости. Характерными точками сечения являются низшая и высшая точки сечения, точки смены видимости.

Задача №12

Найти линию пересечения прямого кругового конуса со сферой (рис. 32).

Для получения опорных (низшей и высшей) точек сечения рассекаем поверхности фронтальной плоскостью уровня l (l₁), проходящей через ось конуса и центр сферы. В этом случае фронтальные проекции конуса и сферы являются также фронтальными проекциями сечения конуса и сферы. Точки 1₂ и 2₂ - точки пересечения указанных сечений – фронтальные проекции искомых точек.

Рис. 32

Для построения остальных точек сечения используют горизонтальные плоскости - посредники a, g, b, причем через горизонтальную ось сферы проведение секущей плоскости обязательно.

Так, в частности, в результате пересечения поверхностей горизонтальной плоскостью a (a₂) в сечении получаем окружности радиусом R_a и r_a, которые пересекаются на плоскости П₁ в точках 3₁ и 4₁, фронтальные проекции 3₂, 4₂ которых лежат на проекции плоскости a (a₂).

Определение видимости точек сечения.

Точки, принадлежащие линии сечения поверхностей видны, если они видны одновременно на двух поверхностях.

На горизонтальной проекции конуса все точки видимы. На горизонтальной проекции сферы видны те точки, которые на фронтальной проекции сферы лежат в верхнем полушарии сферы. Для получения точек смены видимости (5,6) рассекаем поверхности, плоскостью b (b₂), проходящей через экватор сферы, получаем проекции 5₁6₁®5₂6₂; проекции точек 1₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁ - видимы, проекции точек 7₁, 8₁, 9₁, 10₁ - невидимы. Для получения линии сечения соединяем их с учетом видимости.

Задачу №13 на построение линии пересечения поверхностей решить аналогичным методом самостоятельно. В качестве секущих плоскостей рекомендуется использовать фронтальные плоскости - посредники.