Основные свойства определителей

Необходимо помнить, что определитель – это число, найденное по некоторым правилам. Его вычисление может быть упрощено, если пользоваться основными свойствами, справедливыми для определителей любого порядка.

Свойство 1. Значение определителя не изменится от замены всех его строк соответствующими по номеру столбцами и наоборот.

Операция замены строк столбцами называется транспонированием. Из этого свойства вытекает, что всякое утверждение, справедливое для строк определителя, будет справедливым и для его столбцов.

Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то знак определителя поменяется на противоположный.

Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки определителя равны 0, то определитель равен 0.

Свойство 4. Если элементы строки определителя умножить (разделить) на какое-нибудь число , то и значение определителя увеличится (уменьшится) в раз.

Если элементы какой-нибудь строки, имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки, то такой определитель равен 0.

Свойство 6. Если элементы какой-нибудь строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей.

Свойство 7. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки добавить элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.

В этом определителе вначале ко второй строке прибавили третью, умноженную на 2, затем из третьего столбца вычли второй, после чего вторую строку прибавили к первой и третьей, в результате получили много нулей и упростили подсчет.

Элементарными преобразованиямиопределителя называются упрощения его благодаря использованию указанных свойств.

Пример 1. Вычислить определитель