Содержание отчета по устойчивости

5. Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью двойственных оценок.

§ Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выпол­няется с помощью второй теоремы двойственности: если Y_i > 0, то , i = 1,..., m;

если , то Y_i = 0, i = 1,..., m.

Ресурсы «труд» и «оборудование» имеют отличные от нуля оценки 4/3 и 1/3 - эти ресурсы полностью используются в опти­мальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:

7Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ + 6Х₄ ≤ 80,

2Х₁ + 4Х₂ + Х₃ + 8Х₄ ≤ 130,

7∙0 + 2∙30 + 2∙10 + 6∙0 = 80 = 80,

2∙0 + 4∙30 + 1∙10 + 8∙0 = 130 = 130.

Ресурс «сырье» используется не полностью (280 < 480), поэто­му имеет нулевую двойственную оценку (Y₂ = 0).

5X1 + 8Х2 + 4Х3 + 3Х4 ≤ 480,

5∙0 + 8∙30 + 4∙10 + 3∙0 = 280 < 480.

Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.

Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида составит 150 тыс. руб.:

g(Y) = 80∙Y₁ + 480∙Y₂ + 130∙Y₃ = 80∙4/3 + 480∙0+ 130∙1/ 3 = 150 тыс. руб.

Согласно четвертому ограничению задачи не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его не дефицитности. Не дефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов (в задаче они ограничены величиной b_i), а из-за невоз­можности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данныйресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функ­цию f (X).

Заметим, что ценность различных видов ресурсов нельзя отожде­ствлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.

§ Анализ эффективности отдельных изделий выполняется на ос­нове соотношений из второй теоремы двойственности: если Х_j > 0, тo , j = 1,..., n;

если , то X_j = 0, j = 1,..., n.

Поясним равенство нулю X₁ и Х₄. Если изделие вошло в опти­мальный план (Х_j > 0), то в двойственных оценках оно не убыточ­но, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей зада­че - это ковры второго и третьего видов.

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптималь­ный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10 - 3 = 7) тыс. руб. и 9,666 (10,666 - 1 = 9,666) тыс. руб. соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:

7∙4/3 + 5∙0 + 2∙1/3 = 30/3 = 10 > 3,

2∙4/3 + 8∙0 + 4∙1/3 = 12/3 = 4 = 4,

2∙4/3 + 4∙0 + 1∙1/3 = 9/3 = 3 = 3,

6∙4/3 + 3∙0 + 8∙1/3 = 32/3 = 10,666 > 1.

Разницу между правыми и левыми частями ограничений двой­ственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость.

6. Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значе­ния целевой функции (чувствительность решения к изменению запасов сырья).

Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 ед., т.е. теперь он составляет 80 + 12 = 92 ед.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f (Х). Оно определяется величиной Y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных Y_i в оптимальном плане соответствующей двойствен­ной задачи остаются неизменными. В нашей задаче увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 16 тыс. руб. (Δ f (Х) = Δb₁∙Y_l = 12∙4/3 = 16).

Для двойственных оценок оптимального плана существенное значение имеет их предельный характер. Оценки являются точ­ной мерой влияния ограничений на функционал лишь при ма­лом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.

Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каж­дого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости. В приве­денном фрагменте отчета (табл.6) видно, что запасы дефицит­ных ресурсов «труд» и «оборудование» могут быть, как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса ресурса «сырье» не влияет на план выпуска продукции.

Таблица 6. Отчет по устойчивости

После увеличения запаса ресурса «труд» до 92 чел./час было по­лучено новое решение задачи. Изменение запасов ресурсов в пре­делах интервалов устойчивости двойственных оценок привело не только к изменению значения целевой функции на 16 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились. Новый план выпуска составляет 28 ковров второго вида и 18 ков­ров третьего вида. Изменение общей стоимости продукции на 16 тыс. руб. (24 - 8 = 16) получено за счет уменьшения пла­на выпуска на 2 ед. ковров второго вида по цене 4 тыс. руб. (4∙(28 - 30) = -8 тыс. руб.) и увеличения на 8 ед. плана выпуска ковров третьего вида по цене 3 тыс. руб. (3∙(18 - 10) = 24 тыс. руб.).

Пример Применяя симплекс-метод к задаче о размещении производственных заказов (см. пример 1.1), был получен оптималь­ный план распределения объемов производства по филиалам пред­приятия:

Хi - объем выпускаемой продукции в филиале i
Х1	Х2	ХЗ	Х4
	100 тыс. шт.	200 тыс. шт.

Требуется: сформулировать экономико-математическую модель прямой и двойственной задачи, используя данные табл. 1.2 и найти оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Решение

1. Экономико-математическая модель исходной задачи.

Пусть X_i - объем выпускаемой продукции в филиале i. Целе­вая функция задачи имеет вид: f (X) = 83X_l + 89Х₂ + 95Х₃ + 98Х₄ → min.

Ограничения: Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ ≥ 300 (тыс. шт.),

120Х₁ + 80Х₂ + 50Х₃ + 40X₄ ≤ 18 (млн. руб.),

Х_1,2,3,4 ≥ 0.

В табличном виде их можно записать следующим образом:

Y1					300 000
Y2					18 000 000

2. Экономико-математическая модель двойственной задачи.

Пусть Y₁ - двойственная оценка выпускаемой продукции, ко­торая может быть ценой изделия; Y₂ - двойственная оценка капитальных вложений, которая может быть представлена как коэффициент эффективности капитальных вложений. Тогда

g(Y)=300000Y₁ + 18000000Y₂ → max,

1∙Y₁ + 120∙Y₂ ≤ 83,

1∙Y₁ + 80∙Y₂ ≤ 89,

1∙Y₁ + 50∙Y₂ ≤ 95,

1∙Y₁ + 40∙Y₂ ≤ 98.

3. Для определения оптимального плана двойственной задачи вос­пользуемся соотношениями второй теоремы двойственности.

Если какое-либо ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная оценка равна нулю,

т.е. если , то Y_i = 0, i = 1,..., m.

Подставляя значения вектора Х в ограничения исходной за­дачи, получим:

0 + 100000 + 200000 + 0 = 300 000,

120∙0 + 80∙100 000 + 50∙200 000 + 4∙0 = 18 000000.

Двойственные оценки Y₁ и Y₂ могут принимать любые значения. Если какая-либо переменная исходной задачи входит в опти­мальный план, то соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство: если X_j > 0, то .

В нашей задаче Х₂ = 100 000 > 0 и Х₃ = 200000 > 0, поэтому второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в уравнения, решая которые найдем Y₁ и Y₂:

1∙Y₁ + 50∙Y₂ = 95, Y₁ = 105 - средняя цена изделия,

1∙Y₁+80∙Y₂ = 89, Y₂ = -0,2- двойственная оценка капи­тальных вложений.

Тогда 105 = 95 + 50∙0,2 = 105, 105 = 89 + 80∙0,2 = 105.

Во втором и в третьем филиалах выпускать новые изделия це­лесообразно, так как затраты на его освоение и выпуск не превышают цену изделия. Проверим выполнение первой теоремы двойственности:

g(Y) = 300000∙Y₁ + 18000000∙Y₂ = 300000∙105 + 18000000∙(-0,2) = 279000000,

f (Х) = 83∙X₁ + 89∙Х₂ + 95∙Х₃ + 98∙Х₄ = 83∙0 + 89∙100000 + 95∙200000 + 98∙0 = 279000000

Полученные оптимальные планы говорят о том, что в первом и четвертом филиалах размещать заказы по выпуску новых изде­лий невыгодно (Х₁ = 0 и Х₄ = 0), так как затраты на производство единицы изделия в этих филиалах больше цены изделия:

Y₁ = 105; Y₂ = -0,2;

1∙Y₁ + 120∙Y₂ = 83; 105 + 120∙(-0,2) ≤ 83; 105 ≤ 83 + 24 = 107;

1∙Y₁ + 40∙Y₂ ≤ 98; 105 + 40∙(-0,2) ≤ 98; 105 ≤ 98 + 8 = 106.