Практическое задание N 2. 31

1. Рассчитать определенные интегралы с заданной погрешностью двух последовательных приближений от функций: f(x) = sin(x); на интервале [0.. pi], и f(x) = cos(x); на интервале [-pi/2.. pi/2]. Сравнить результат с точным значением интеграла от функции.

2. Показать на примерах точность квадратурных формул при n=1. Например: метод прямоугольников и трапеций для f(x) = x+5; на интервале [ 1.. 3], формулы Симпсона и "трех восьмых" - для f(x) = x³/4 + 1; на интервале [ 0.. 4].

Можно построить квадратурные формулы, точные для многочленов k -ой степени. С помощью замены переменных x= (b-a)*u/2 + (a+b)/2; и V(u) = (b-a)*f(x)/2; получаем:

_{b 1}

S = ò f(x)*dx = ò V(u)du = A₁*V₁ + A₂*V₂ + A₃*V₃ +... + A_M*V_M ;

^{a -1}

где V_i = V(u_i); Такого вида формулы получены Чебышевым и Гауссом. Для различных значений "M" (числа точек интегрирования) приводятся таблицы данных для коэффициентов "A_i" и аргументов "u_i". В формуле Чебышева A₁=A₂=A₃=... =A_M=2/M. Формула Чебышева точна для многочленов M -ой степени (при четных M - для многочленов M+1 -ой степени), формула Гаусса - для многочленов 2*M-1 -ой степени. Приведем данные для M=3 и M=6.