2015-10-22
1621
Оценка значений средней длины пробега электронов L и LF в классической и квантовой теориях для типичного значения удельного электросопротивления металлов при комнатной температуре s=10 мкОм.см дает следующие значения:
L ~ 102 нм (
~105 м/с)
LF ~ 103 нм (V f = E F/2 m ~106 м/с).
Из сопоставление этих значений с межатомным расстоянием следует, что электрон проскакивает без столкновений несколько сотен (или тысяч) периодов решетки! С классической точки зрения это невозможно представить.
Поэтому следует отказаться от представления об упругом рассеянии электронов на упорядоченном распределении атомов в решетке и рассматривать электрон как волну.
Существует два основных механизма рассеяния электронов:
· рассеяние электронов на локальных неподвижных (статических) центрах (атомах примеси, дефектах кристаллической решетки и пр.);
· рассеяние электронов тепловыми колебаниями решетки - фононами.
В меру независимости этих процессов эффективная частота соударений равна сумме частот соударений первого и второго процессов, т.е. 1/tэфф = 1/tстат +1/tфон. Это приводит к правилу Маттиссена:
R полн = R ост + R ид(T), (2.3)
где R ост - не зависящее от температуры Т остаточное сопротивление, связанное с чистотой и технологией данного образца металла и тем меньшее, чем совершеннее образец; R ид (T) - сопротивление идеальной решетки данного металла, обусловленное рассеянием на фононах и сильно зависящее от температуры.
Отношение R полн/ R ост является характеристикой совершенства и чистоты металла и часто используется в технических и исследовательских целях. В этом случае обычно определяют отношение электросопротивлений образца при комнатной и гелиевой температурах R 293K/ R 4,2K. Для совершенных монокристаллов высокой чистоты это отношение достигает значений 105.
Если предположить, что тепловые колебания отдельных атомов независимы, то электрическое сопротивление должно расти прямо пропорционально температуре, так как величина 1/ L прямо пропорциональна среднему квадрату амплитуды колебаний атомов, которая линейно растет с температурой. Это предположение о независимости атомных колебаний справедливо для высокой температуры, значительно выше характеристической. Поэтому при высокой температуре сопротивление чистых металлов увеличивается прямо пропорционально температуре:
R t = R o(1 + a(t - t o)), (2.4)
где a - температурный коэффициент электрического сопротивления.
Для всех чистых металлов, за исключением переходных, a» 0,004. Переходные металлы, и особенно ферромагнетики, имеют более высокое значение (порядка 0,01).
При температурах ниже характеристической температуры Дебая qD зависимость электросопротивления от температуры носит значительно более сложный характер. Из теория Дебая для теплоемкости известно, что при T <<qD число фононов (центров рассеяния) пропорционально T 3. Эффективность рассеяния электронов на фононах также зависит от температуры. Поскольку длина свободного пробега электрона обратно пропорциональна числу фононов и эффективности рассеяния, то при низких температурах электросопротивление должно быть пропорционально T 5.
Таблица 2.1.
Удельное электросопротивление, температурный коэффициент при 0 оС
и характеристическая температура ряда металлов
| Металл Свойства | Al | Be | W | Fe | Cu | Mo | Ti |
| r, 10-6 Ом*см | 2,50 | 3,2 | 4,89 | 8,6 | 1,55 | 5,03 | |
| a, 10-5 K-1 | |||||||
| qD, K | |
На рис.2.1 приведена температурная зависимость электросопротивления для бериллия. Заметим, что поскольку этот металл имеет большое значение характеристической температуры, то нелинейный характер зависимости наблюдается в широком интервале температур.
.
[1] В электрическом поле E каждый электрон получает в направлении противоположном полю добавку к скорости за время t (среднее время свободного пробега) D V = eE t/ m. Средняя плотность электрического тока равна j = en (D V ср)= en D V /2= (e 2 n t/2 m) E. Сравнивая полученное выражение с законом Ома j =s E получим выражение для электропроводности.
