Оптимальное управление конечным состоянием спускаемого аппарата

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления одномер­ным конечным состоянием спускаемого летательного аппарата. В качестве управляющей силы считаем аэродинамическую силу, создаваемую за счет изменения угла крена аппарата. Цель управ­ления состоит в обеспечении минимального рассеивания точек при­земления аппарата, возникающего как за счет начальных ошибок, так и за счет действия атмосферных случайных возмущений (по­рывы ветра, вариации плотности воздуха).

Для простоты ограничимся случаем движения в вертикальной; плоскости. В качестве независимой переменной примем высоту по­лета. Тогда уравнения движения аппарата могут быть представле­ны в виде

где V — скорость ЛА; — угол наклона траектории; L — продоль­ная дальность; h — высота полета; - угол крена; — угловая скорость ЛА; с_х, с_у — коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы соответственно; - воздушный скорост­ной напор; V_w — воздушная скорость ЛА; S—площадь миделя; m — масса аппарата; g — ускорение силы тяжести; R — радиус Земли; М — управляющий момент по крену , J_x — мо­мент инерции относительно оси симметрии; — плотность атмо­сферы.

Уравнения движения получены в предположении, что влияние порывов ветра на движение ЛА сводится лишь к изменению аэро­динамических сил за счет изменения скорости V воздушной скорос­тью V_w. Если через W обозначить скорость горизонтальных поры­вов ветра, то нетрудно установить связь V_w и V:

В первом приближении атмосферные возмущения могут быть пред­ставлены с помощью линейных нестационарных формирующих фильтров. При этом для ветра можно ограничиться фильтром перво­го порядка, а для вариации плотности атмосферы — фильтром второго порядка:

где a_w, а_р' а_р, а также интенсивности N_w и N_p белых шумов и подбираются таким образом, чтобы статистические характеристи­ки (например, корреляционные функции) возмущений как можно точнее соответствовали действительным характеристикам.

Вводя обобщенный вектор состояния

приходим к уравнению

где f(x,u) —вектор-функция, элементы которой получаются из пра­вых частей представленных выше уравнений u =М — управляющее воздействие; — вектор белых шумов . Задача синтеза оптимального управления заключается в опреде­лении такого закона u(x,h), который обеспечивает минимум дис­персии координаты x₃ = L в конечный момент времени, т. е. при u = 0. Итак, критерий оптимальности равен

Предположим, что возмущенное движение ЛА с достаточной точностью описывается уравнениями в отклонениях относительно некоторой номинальной траектории спуска. Тогда, проводя лине­аризацию нелинейных уравнений, получим линеаризованную модель движения

Здесь под Δ х понимается вектор, равный разности между истин­ным вектором х и вектором, вычисленным на номинальной траектории при одинаковых h; А — матрица; В — вектор частных производ­ных правых частей по компонентам вектора х и управлению и соот­ветственно. Естественно, что А и В зависят от высоты полета h.

Для решения задачи обратимся к достаточным условиям опти­мальности. Однако, учитывая скалярный вид критерия оптимально­сти (5.82), предварительно произведем следующее преобразование задачи. Введем в рассмотрение новый вектор у, связанный с векто­ром х соотношением

где Ф(0,h) —фундаментальная матрица системы (5.83), удовлетво­ряющая уравнению

при условии Ф(0,0)=I.

Отметим, что в соответствии с определением вектора у в момент h = 0 имеет место равенство

Дифференцируя (5.84) по h и принимая во внимание уравнение (5.83), получаем следующее уравнение для вектора у:

Так как критерий оптимальности (5.82) может быть представлен в виде

а компонента у₃ не зависит от других компонент вектора у, то вмес­то уравнения для вектора у можно ограничиться лишь одним урав­нением для компоненты у₃:

где , — третьи компоненты векторов Ф(0,h)В и Ф(0,h) соот­ветственно.

Таким образом, введение вектора у позволило рассматриваемую задачу свести к скалярной. Теперь воспользуемся уравнением Беллмана, которое в данном случае принимает вид

с граничным условием R(у₃,0) = у₃²(0). Через N ₃ обозначена интен­сивность белого шума , u_max=M_max.

Из уравнения (5.86) получаем структуру оптимального управ­ления

Таким образом, оптимальное управление является релейным. Из физических соображений ясно, что функция будущих потерь R(у₃,h) является четной и возрастающей по функцией. По­этому

С учетом этого окончательно закон оптимального управления при­нимает вид

Таким образом, задача синтеза оптимального управления одно­мерным конечным состоянием линейной системы решена полностью. Однако провести анализ точности, т. е. решить уравнение (5.86), аналитически и здесь не удается.