Векторное дифференцирование

1. Под производной скалярной функции f(x), по вектору х размерности я понимается вектор-столбец с элементами , , обозначенный через , или :

2. Под производной вектор-функции g(x) размерности т по скалярному аргументу х понимается вектор размерности т

3. Под производной вектор-функции g(x) размерности т по вектору x размерности п понимается матрица с размерами n×п.

4. Под второй производной скалярной функции f(x) по вектору х размерности п понимается квадратная матрица

5. Под производной матрицы Ф(х) размерности (т×п) по скалярному аргументу х понимается матрица той же размерности:

6. Ряд Тейлора для скалярной функции f(x) векторного аргумента х при разложении относительно точки х* с точностью до членов второго порядка малости имеет вид

7. Ряд Тейлора для векторной функции g(x) векторного аргумента х при разложении относительно точки х* с точностью до членов первого порядка малости имеет вид

8. Производная сложной вектор-функции f[y(x)] векторных аргументов у я х по вектору х может быть представлена в виде

9. Если — векторы, то

10. Если у—Ах, где у, х — векторы, а А — постоянная матрица, то

11. Если , где — симметричная постоянная матрица, то

12. Если вектор , где — скалярная функция векторного аргумента х, то

13. Если вектор , где — скалярные функции векторного аргумента X, то

14. Если , где х — вектор-функция векторного аргумента и, то

15. Следом квадратной матрицы А, обозначаемым через Sp А, называется сумма ее диагональных членов

Имеют место следующие соотношения:

16. Под производной скалярной функции f(L) по матричному аргументу L размерности n×m понимается матрица той же размерности:

17. Если f = Sp (L D), то

18, Если , где — векторы, a L матрица, то

19. Если вектор , где v, х - вектор-столбцы, a L — вектор-строка, то

5. ДВА СПОСОБА ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При статистическом анализе динамических систем, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными

уравнениями с переменными коэффициентами, используются два основных способа их представления: с помощью одного уравнения п-го порядка относительно одного рассматриваемого входа системы u(t) и одного выхода х(t) вида

или с помощью системы уравнений n-го порядка в нормальной форме Коши вида (2.1).

Переход от системы уравнений вида (2.1) к одному уравнению вида (П5.1) можно осуществить для конкретных скалярных входа и выхода , , исключив из рассмотрения все другие входы , выполнив (n—1)-кратное дифференцирование r-го уравнения системы (2.1) и заменив производные в правой части результирующего уравнения с помощью остальных уравнений системы (2.1).