Основные технические сложности изучения величины «время»

Время.

· Мерка - часы

· Эталон -1 час (= 60 мин)

· Доли – 1 мин (= 60 сек); 1ч=360 сек;

· Кратные – 1 сутки (= 24 ч ); 1 неделя (= 7 сут); 1 мес (28,29,30,31); 1 год (1 2 мес = 365,366 сут); 1 век (100 лет); 1 миллениум (тысячелетие).

Папа Григориан 4 ввел новый календарь – григорианский в 14 в. (вместо юлианского). Им было введено понятие високосный год (если число, соответствующее году делится на 4)

Основные технические сложности изучения величины «время»

· Наличие 2х систем счисления (6тидесятиричная, десятичная);

· Стрелки часов неоднозначно определяют часть суток (день/ночь; утро/вечер);

· Наименование времени - разное;

· Мерка содержит неравномерную шкалу (2 последовательных числа для часовой стрелки, для минутной дают диапазон -5 мин)

14. Время. Свойства величины.

Промежутки времени и их измерение.

 

Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

 

Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит больше времени, чем велосипедист.

 

Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько же времени, сколько два урока в школе.

 

Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины, площади или массы. Для измерения длины можно многократно использовать линейку, перемещая её с точки на точку. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

15. Время. Процедура сравнения объектов по данной величине.

§ Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит больше времени, чем велосипедист.

§ Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в колледже длится столько же времени, сколько два урока в школе.

§ Промежутки времени можно вычитать, умножать на положительное действительное число.

§ Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины. Для измерения длины можно многократно использовать линейку, перемещая ее от точки к точке. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век.. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Год - это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки - это время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365 суток. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому четвёртому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

16. Скорость. Математический смысл.

Скорость-это расстояние между двумя точками.

Скорость-это векторная величина, которая, определяет как быстроту движения,так и его направление в данный момент времени.Чтобы найти скорость нужно расстояние разделить на время S=V:t

17. Скорость. Процедура сравнения объектов по данной величине.

Для задач на движение 2х движущихся объектов

1. Движение навстречу (скорости суммируются)

2. Движение в противоположную друг от друга сторону(скорости суммируются)

3. Движение в одну сторону(скорости вычитаются)

4. Движение противоположное, но в одну сторону(скорости вычитаются)

18. Величина угла. Математический смысл. Свойства величины.

19. Величина угла. Процедура сравнения объектов по данной величине.

20. Геометрические фигуры и тела, их определение, свойства и признаки.

Геометрическая фигура - множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости. Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры. Прямая линия, либо прямая – это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.Прямую изображают так:

Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:

 

Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:

 

Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными.

 

Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой:

 

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой. Пример замкнутой ломаной - это всякий многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник):

 

Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник:

 

Плоскость, как и прямая, — это исходное понятие, у которого нет определения. У плоскости, как и у прямой, не возможно увидеть ни начала, ни конца. Всегда рассматривается лишь часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией.

 

Пример плоскости - это пол, столешница, всякая гладкая поверхность. Плоскость изображают заштрихованной геометрической фигурой:

Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.Геометрическое тело возможно выделить замкнутой поверхностью, т.е. его границей.Еще геометрическим телом можно назвать компактное множество точек, и 2 точки из множества возможно соединить отрезком, этот отрезок целиком проходит внутри границы тела, это указывает на то, что геометрическое тело состоит из множества внутренних точек.Наружная граница геометрического тела является его гранью, у тела может быть одна либо несколько граней. Множество плоских граней определяет множество вершин и ребер геометрического тела.Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.   Тела вращения. Тела вращения — это объёмные тела, которые возникают следствием вращения плоской геометрической фигуры, которая ограничена кривой, вокруг оси. Эта ось лежит в той же плоскости.Если вращать контуры фигур, образуется поверхность вращения (к примеру, сфера, которая образовывается из окружности), а если вращать заполненные контуры – возникают тела (шар, который образован из круга).

 

Шар — образуется из полукруга, вращением вокруг диаметра разреза.
Цилиндр — образуется из прямоугольника, вращая его вокруг одной из сторон. Площадью боковой поверхности цилиндра берут площадь его развертки:   Sбок = 2πrh.
Конус — образуется из прямоугольного треугольника, при вращении его вокруг одного из катетов. Площадью боковой поверхности конуса берут площадь ее развертки:   Sбок = πrl, Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)
Тор (тороид) — образуется из окружности, вращая ее вокруг прямой, которая не пересекает его.

 

Многогранники.   Многогранникилиполиэдр — зачастую замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников. Ее,бывает, зовут тело, которое ограничено этой поверхностью.Многогранник – тело, у которого граница, это объединение ограниченного количества многоугольников.   Есть 5 видов правильных многогранников:

 

Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

 

Правильным многогранником является многогранник, с гранями из правильных равных многоугольников,также, каждый двугранный угол имеет одинаковое значение.Однако существуют другие многогранники – все многогранные углы равны, а грани – правильные, при этом разноименные правильные многоугольники. Такие многогранники являются равноугольно-полуправильными многогранниками.Это: усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, возможно получить правильные звездчатые многогранники.Таких многогранников существует только 4, еще их зовут телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, и назвал его «колючий» либо «еж», и большой додекаэдр. Пуансо открыл другие 2 правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

 

21. Геометрические фигуры. Основные понятия.

Точка — это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Прямую можно представить себе, как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна.

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка — это его длина. Длина отрезка — это расстояние между его концами.Измерить отрезок — это значит установить его длину в определенных единицах.

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соеди­няющих их отрезков.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой центром.

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

 

22. Математические соотношения в треугольнике.

Основные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Пусть в треугольнике ABC

∠ C =90∘, a = BC, b = AC – катеты, c = AB – гипотенуза, h = CH – высота к гипотенузе, a 1= BH, b 1= AH

– проекции катетов на гипотенузу. Тогда

1. a 1 b 1= h 2;

2. a 1 c = a 2;

3. b 1 c = b 2;

4. a 1+ b 1= c.

 

23. Математические соотношения в простейших фигурах (квадрат, прямоугольник, ромб).

24. Многоугольник. Основные понятия, свойства и признаки тел.

25. Многоугольник. Вложенные тела.

26. Призма, прямоугольный параллелепипед.

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Наклонная призма - это призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

Правильная призма.

Призма называется правильной, если основаниями её служат правильные многоугольники и боковые рёбра перпендикулярны к основаниям.

 

В зависимости от числа углов в основании призма называется треугольной, четырёхугольной, пятиугольной и т. д.

Боковыми гранями любой правильной призмы служат прямоугольники.

 

По виду основания призмы различают треугольные, четырехугольные, п-угольные призмы.

Треугольная, четырехугольная,..., n-угольная призма — в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник,..., n-угольник.

Параллелепипед.

Параллелепипед— призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Типы параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;

Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;

Куб - это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.

Основные формулы:

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sбок =Ро*h, где Ро - периметр основания, h - высота

Площадь полной поверхности Sпол =Sб+2Sо, где Sо - площадь основания.

Основные элементы:

 

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.

 

27. изображение пространственных фигур на плоскости.

28. Алгоритм сложения в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

Законы сложения, основные св-ва

Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.

Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a. К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564); сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2).

Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b, c – произвольные целые числа.

Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества целых чисел.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78; если к нулю прибавить целое положительное число 999, то в результате получим число 999.

Сейча1с мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0, где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Сложение — это действие, посредством которого единицы первого и второго числа объединяются. Объединяемые числа называются слагаемыми. Число, полученное в результате сложения, называется суммой.

Законы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный.

Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения).

Например: 37 + 42 = 42 + 37 = 79.

В общем виде: а + Ь = Ь + а.

Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения).

Например: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13).

В общем виде: (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

Часто в примерах для вычислений используются сразу оба закона сложения.

Например: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.

29. Алгоритм вычитания в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

30. Алгоритм умножения в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

31. Алгоритм деления в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

32. Алгоритм деления с остатком в позиционной системе счисления. Особенности изложения в начальной школе.

33. Закон сложения. Основные свойства.

34. Дистрибутивный закон, основные свойства.

35. Мера, основные свойства меры в курсе начальной школы.

36. Изучение мер: длина, площадь, объем в курсе начальной школы.

37. Изучение массы в курсе начальной школы.

38. Изучение времени в курсе начальной школы.