Сложение натуральных чисел и его свойства. Правила

Чтобы получить число, следующее за натуральным надо прибавить к нему единицу. Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40. Для того чтобы сложить числа 7 и 2, нам надо прибавить к числу 7 два раза единицу. Получим: 7 + 2 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9. Пишут короче: 7 + 2 = 9.

Слагаемые — это числа, которые мы складываем, а результат их сложения называется суммой. Например: 4 + 2 = 6. 4 и 2 — это слагаемые. 6 — это сумма.

При перестановке слагаемых сумма не меняется. 3 + 4 = 4 + 3 = 7. Это свойство сложения называют переместительным.

Сумма трех и более слагаемых не изменится от изменения порядка сложения чисел. Например: 3 + (7 + 2) = (3 + 7) + 2 = 12; значит: a + (b + c) = (a + b) + c. Поэтому вместо 3 + (7 + 2) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа по порядку, слева на право. Это свойство сложения называется сочетательным.

При прибавлении нуля к числу сумма равна самому числу. 3 + 0 = 3. Так же при прибавлении числа к нулю, сумма равна прибавляемому числу. 0 + 3 = 3; значит: a + 0 = a; 0 + a = a.

Если точка C разделяет отрезок АВ, то сумма длин отрезков AC и CB равна длине отрезка AB. Пишут: AB = AC + CB.

Если AC = 2 см а CB = 3 см, то AB = 2 + 3 = 5 см.

Периметр многоугольника — это сумма длин его сторон. Например: треугольник ABC. Если AB = 5 см, AC = 4 см а CB = 3 см, то его периметр равен 12см так, как 3 + 4 + 5 = 12.

7. Вычитание натуральных чисел и его свойства. Правила

Решим задачу. В вазе лежало 15 мандаринов. Мы с друзьями съели 7 штук. Сколько мандаринов осталось в вазе? Понятно, что если к оставшемуся количеству (х) добавить 7 мандаринов, их снова станет 15. х + 7 = 15. Значит нам известно одно слагаемое и сумма, а второе слагаемое надо найти. Для этого в математике есть действие. Оно называется вычитание, х = 15 – 7 = 8; так как 8 + 7 = 15. 15 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, 8 — разность. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

Если мы используем натуральные числа, то уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. 9 – 4 = 5; 9 > 4. Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое больше вычитаемого, или, на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого. 9 больше 4 на 5.

Рассмотрим пример: 243 – (143 + 39) = 243 – 182 = 61. Но гораздо удобнее считать так: 243 – (143 + 39) = 243 – 143 – 39 = 100 – 39 = 61. Значит: a – (b + c) = a – b – c. В этом выражении мы вычитаем сумму из числа, можно сделать иначе, сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности второе слагаемое. Такое свойство называют свойством вычитания суммы из числа. Рассмотрим еще пример: 371 – 55 – 45 = 316 – 45 = 271. Но удобнее найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого: 371 – 55 – 45 = 371 – (55 + 45) = 371 – 100 = 271.

Рассмотрим еще три примера с одинаковыми результатами. (5 + 4) – 3 = 9 – 3 = 6; 5 + (4 – 3) = 5 + 1 = 6; (5 – 3) + 4 = 2 + 4 = 6. значит: (5 + 4) – 3 = 5 + (4 – 3) = (5 – 3) + 4. или: (a + b) – c = a + (b – c), если с < b или: (a + b) – c = (a – c) + b, если с < a При вычитании числа из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к разности прибавить другое слагаемое. Обязательно, вычитаемое должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему. Это — свойство вычитания числа из суммы. Рассмотрим пример: (743 + 279) – 243 = 1022 – 243 = 779. Но гораздо удобнее считать так: (743 + 279) – 243 = 743 – 243 + 279 = 500 + 279 = 779.

Так как 7 + 0 = 7, то по смыслу вычитания имеем: 7 – 7 = 0 или 7 – 0 = 7; a – a = 0 или a – 0 = a. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится. Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Если точка C разделяет отрезок АВ, то разность длин отрезков AB и CB равна длине отрезка AC. Пишут: AB – CB = AC или AB – AC = CB. Если AB = 5 см а CB = 3 см то, AC = 5 – 3 = 2 см.

Уравнение. Правила

Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением. Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях. Например, уравнение x + 6 = 7 верно при x = 1 и неверно при x = 2. Значение буквы, при котором уравнение — верно, называют корнем уравнения. Например, корнем уравнения x + 2 = 5 является число 3. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что оно не имеет решения.

Пример 1. Решим уравнение x + 28 = 42. Решение: С помощью вычитания, найдем неизвестное слагаемое. x = 42 – 28, то есть x = 14. Число 14 является корнем уравнения x + 28 = 42, потому что 14 + 28 = 42. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение y – 17 = 88. Решение: y = 17 + 88, то есть y = 105. Число 105 является корнем уравнения y – 17 = 88, так как верно равенство 105 – 17 = 88. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 44 – z = 27. Решение: z = 44 – 27, то есть z = 17. Число 17 является корнем уравнения 44 – z = 27, так как верно равенство 44 – 17 = 27. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Задача. Два арбуза весят 14 кг, причем масса одного из них равна 8 кг. Какова масса второго арбуза? Решение: Обозначим массу второго арбуза буквой х. Так как масса двух арбузов равна 14 кг, получаем: х + 8 = 14. Найдем такое значение x, при котором это равенство будет верно. Нам надо найти слагаемое по сумме и второму слагаемому. х = 14 – 8; х = 6. О т в е т: Масса второго арбуза равна 6 кг.

Уравнение. Правила