Количества движения МТ

1 2 3

Лекции 3-6

Общие теоремы динамики МТ

Теорема об изменении количества движения МТ

Основной закон динамики (1.1) можно представить в виде:

(3.1)

Здесь – элементарный импульс силы, действующей на МТ.

Соотношение (3.1) выражает теорему об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.

Теорема: Дифференциал количества движения МТ равен элементарному импульсу силы, действующей на МТ.

Проинтегрировав соотношение (3.1) с учетом начальных условий: при t = 0 , получим эту теорему в конечной интегральной форме:

. (3.2)

В (3.2) называется импульсом силы за конечный промежуток времени:

. (3.3)

Теорема: Изменение количества движения МТ за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени.

Проектируя на оси декартовой системы координат равенство (3.2), получим эту теорему в скалярной форме:

, (3.4)

где S_x, S_y, S_z – проекции импульса силы на оси декартовой системы координат.

Теорема об изменении момента

количества движения МТ

Умножим векторно слева обе части основного закона динамики – соотношение (1.1К) на радиус-вектор:

Рис. 1

(4.1)

Преобразуем левую часть, представив ее в виде тождества:

(так как , то ).

Соотношение (4.1) примет вид:

. (4.2)

Введя обозначение момента количества движения МТ относительно центра О через вектор , получим:

. (4.3)

Соотношение (4.2) с учетом (4.3) и того, что его правая часть есть момент силы относительно центра О: , примет вид:

. (4.4)

Теорема(4.4): Производная по времени от момента количества движения МТ относительно какого-либо центра равна моменту силы, действующей на МТ, относительно того же центра.

Проектируя равенство (4.4) на оси декартовой системы координат, получим эту теорему в скалярной форме:

, (4.5)

Здесь l_Ox, l_Oy, l_Oz – проекции момента количества движения МТ на оси декартовой системы координат (моменты количества движения МТ относительно координатных осей), а , , , – моменты силы относительно координатных осей.

Теорема(4.5): Производная по времени от проекции момента количества движения МТ на какую-либо ось равна моменту силы, действующей на МТ, относительно той же оси.

Следствия:

Если , то , т. е. МТ движется таким образом, что момент количества движения МТ остается постоянным - представляет собой закон сохранения момента количества движения МТ.