Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Любое число можно представить в виде суммы произведений значащих цифр числа на степени основания системы счисления. Такое представление называется развернутой формой записи числа.

В общем виде любое число х в позиционной системе счисления можно представить в виде:

х = а_k • р^k + а_k-1 • р^k-1 + … + а₁ • р¹ + а₀ • р⁰ + а_-1 • р^-1 + … + а_-n • р^-n,

где а_k – k ^я цифра целой части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

а_-n - n ^я цифра дробной части числа х, записанного в системе счисления с основанием р;

k + 1 – количество разрядов в целой части числа х;

n – количество разрядов в дробной части числа х.

С учетом этих обозначений запись числа х в любой позиционной системе счисления с основанием р имеет вид:

(а_k a_k-1... a₁ a₀ a_-1 a_-2... a_-n) _p

Например, число 3047₁₀ в развернутой форме будет записано так:

3047₁₀=3 •10³+0 •10²+4 •10¹+7 •10⁰=3 • 1000+0 • 100+4 • 10+7 • 1=3000+0+40+7=3047₁₀

На этом принципе основан перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему. Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример 1. Перевести число 111101₂ в десятичную систему счисления:

(в дальнейшем будет использоваться краткая запись задания: 111101₂ = Х₁₀)

111101₂ = 1 • 2⁵ + 1 • 2⁴ + 1 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 61₁₀;

Ответ: 111101₂ = 61₁₀.

Пример 2. 417₈ = X₁₀:

417₈ = 4 • 8² + 1 • 8¹ + 7 • 8⁰ = 256 + 8 + 7 = 271₁₀;

Ответ: 417₈ = 271₁₀.

Пример 3. 2С8Е₁₆ = Х₁₀:

2С8Е₁₆ = 2 • 16³ + 12 • 16² + 8 • 16¹ + 14 • 16⁰ = 8192 + 3072 + 128 + 14 = 11406₁₀;

Ответ: 2С8Е₁₆ = 11406₁₀.