Расчет эффекта Комптона

Пусть фотон с энергией hν падает на покоящийся электрон (см. рис.3).
Запишем уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса:
1. энергия до столкновения (энергия фотона hν плюс энергия покоя электрона) должна равняться энергии после столкновения (энергия hν' рассеянного фотона плюс полная энергия получившего отдачу электрона)

hν + m_oc² = hν' + mc², (1)

где m_o - масса покоящегося электрона, m - масса движущегося электрона, с - скорость света;

2. импульс падающего фотона p должен равняться сумме импульсов электрона p_e и рассеянного фотона p'

p = p' + p_e (2)

Энергия фотона связана с импульсом соотношением

|p| = hν/c. (3)

Преобразуем выражение (1): перенесем энергию рассеянного кванта в левую часть, выразим энергии квантов через импульсы в соответствии с (3), разделим обе части равенства на c и возведем в квадрат

(p - p' + m_oc)² = (mc)². (4)

В законе сохранения импульса (2) перенесем импульс рассеянного кванта в левую часть и возведем в квадрат обе части равенства

p² - 2pp' + p'² = p_e². (5)

После вычитания последнего равенства из (4) получим

-2pp' + 2pp'cosΘ + 2pm_oc - 2p'm_oc + m_o²c² = m²c² - p_e² (6)

Квадрат полной энергии электрона

E_e² = (mc²)² = p_e²c² + m_o²c⁴.

Учитывая это, замечаем, что правая часть (6) равна m_o²c². Точно такое же слагаемое есть и в левой части (6). После сокращений получим выражение для модуля импульса рассеянного фотона

p' = p/[1 + (p/mc)(1 - cosΘ)]. (7)

Поскольку импульс фотона p = h/λ, получаем окончательное выражение для изменения длины волны рассеянного фотона

λ' - λ = (h/m_оc)(1 - cos Θ). (8)

Величина h/m_oc называется комптоновской длиной волны электрона, ее численное значение равно h/m_oc = 2.4263096(15) ·10^-12 м. Это длина волны фотона с энергией, равной m_oc² - энергии покоя электрона.

Чтобы лучше представить себе, насколько значителен эффект, воспользуйтесь таблицей ниже. Надо ввести длину волны первичного излучения (в нм) [или энергию фотонов (в кэВ), оставив ячейку λ пустой] и угол рассеяния, нажать кнопку "Ввод", и компьютер рассчитает изменение длины волны при рассеянии, энергию фотонов, рассеянных под данным углом, и энергию электронов отдачи.

Убедитесь, что если бы эффект Комптона можно было наблюдать в видимой части спектра, смещение длины волны составило бы тысячные доли длины первичной волны. В рентгеновской области (hν порядка кэВ) изменение порядка 10%, для γ - лучей (hν порядка МэВ) оно сравнимо с длиной волны. А.Комптон проводил измерения с К-линией характеристического рентгеновского излучения молибдена, имеющей λ = 0.0708 нм (hν = 17.5 кэВ). Изменение длины волны в этом случае порядка трех процентов.

В своей статье "A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements", опубликованной в 1923 году, А.Комптон провел расчеты и сравнил результаты с ранее полученными в эксперименте. Выше приведен график из этой работы. На поле графика - результаты для рассеяния рентгеновских лучей в мишени из графита. Впечатляющее согласие пионерских измерений А.Комптона и многих последующих с теоретическими расчетами явилось сильным доводом в поддержку выдвинутого в 1905 г. Эйнштейном предположения о том, что свет обладает свойствами не только волны, но и частицы. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения проявлялись при взаимодействии первичных рентгеновских лучей с электронами, тогда как волновые свойства обнаруживались при детектировании рассеянных лучей – действие дифракционного спектрометра, использованного А.Комптоном, можно объяснить, только рассматривая рентгеновские лучи как волны.

Квантование энергии электромагнитной волны доказано ранее в опытах по фотоэффекту. Но при фотоэффекте импульс фотона передается всему образцу металла и испущенному из него электрону. Импульс, приобретенный металлом в таких условиях, слишком мал и не поддается измерению. Эффект А.Комптона демонстрирует, что фотон обладает импульсом.

А.Комптон не был бы настоящим ученым, если бы не задался вопросом, какие еще экспериментальные подтверждения можно найти приведенному выше объяснению смещения длины волны рассеянного излучения. Если обе части равенства (7) умножить на c, получим энергию рассеянного фотона

hν' = hν/[1 + (hν/m_оc²)(1 - cosΘ)]. (9)

Разность энергий первичного и рассеянного фотонов равна кинетической энергии электрона, который А.Комптон назвал "электроном отдачи", T_e = hν - hν'. На снимках в камере Вильсона по длине следов электронов измерялась их энергия. Экспериментальные значения оказались в хорошем согласии с расчетными.

В 1927г. А.Комптону присуждена нобелевская премия: